Правила вычисления дифференциалов были открыты Лейбницем и аналогичны правилам отыскания производных.
Правило 1
Числовой множитель выносится за знак дифференциала
Правило 2
Дифференциал суммы или разности функций равен сумме или разности их дифференциалов.
Правило 3
Дифференциал произведения
Правило 4
Дифференциал частного
Правило 5
Дифференциал числа (константы) равен 0
Выполнить дифференцирование функции.
\[d(4)\]Решение.
По правилу дифференцирования, дифференциал числа равен 0.
\[d(4)=0\]Выполнить дифференцирование функции.
\[d(e^{2} )\]Решение.
По правилу дифференцирования, дифференциал константы равен 0.
\[d(e^{2} )=0\]
Статья: Правила вычисления дифференциалов
Найти дифференциал функции.
\[d(\ln x-2^{x} )\]Решение.
По правилу дифференцирования, дифференциал разности равен разности дифференциалов функций.
\[d(\ln x-2^{x} )=d(\ln x)-d(2^{x} )\]Найдем производные данных функций и добавим к ним знак дифференциала
\[d(\ln x-2^{x} )=\frac{1}{x} dx-2^{x} \ln 2dx\]Найти дифференциал функции.
\[d(4x^{2} +5)\]Решение.
По правилу дифференцирования, дифференциал суммы равен сумме дифференциалов функций.
\[d(4x^{2} +5)=d(4x^{2} )+d(5)\]Найдем производные данных функций и добавим к ним знак дифференциала. Производная второй функции так же, как и дифференциал, равна 0.
\[d(4x^{2} +5)=8xdx\]Найти дифференциал функции.
\[d(e^{x} \cos x)\]Решение.
По правилу дифференцирования:
\[d(e^{x} \cos x)=d(e^{x} )\cos x+e^{x} d(\cos x)\]Найдем производные данных функций и добавим к ним знак дифференциала.
\[d(e^{x} \cos x)=e^{x} dx\cdot \cos x-e^{x} \sin xdx\]Найти дифференциал функции.
\[d(18shx)\]Решение.
Вынесем числовой множитель за знаки дифференциала
\[d(18shx)=18d(shx)\]Найдем производную функции и добавим знак дифференциала.
\[d(18shx)=18chxdx\]Найти дифференциал функции.
\[d(\frac{\arccos x}{5x} )\]Решение.
Вынесем числовой множитель за знаки дифференциала
\[d(\frac{\arccos x}{5x} )=\frac{1}{5} d(\frac{\arccos x}{x} )\]По формуле частного найдем дифференциал
\[d\left(\frac{u}{v} \right)=\frac{vdu-udv}{v^{2} } \] \[d\left(\frac{\arccos x}{x} \right)=\frac{xd\left(\arccos x\right)-\arccos xdE}{E^{2} } \] \[d\left(\frac{\arccos x}{x} \right)=\frac{\frac{-xdx}{\sqrt{1-x^{2} } } -\arccos xdE}{E^{2} } =-\frac{\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2} } } +\arccos dE}{E} \]Найти дифференциал функции.
\[y=x^{2} e^{x} \]Решение.
По формуле произведения найдем дифференциал
\[dy=x^{2} d\left(e^{x} \right)+e^{x} d\left(x^{2} \right)\] \[dy=x^{2} e^{x} xdx+e^{x} 2xdx\]Упростим
\[dy=x^{2} e^{x} xdx+e^{x} 2xdx=x^{2} e^{x} (x+2)dx\]
