Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Правила вычисления дифференциалов

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Производная и дифференциал / Правила вычисления дифференциалов
Правила вычисления дифференциалов

Правила вычисления дифференциалов были открыты Лейбницем и аналогичны правилам отыскания производных.

Правило 1

Числовой множитель выносится за знак дифференциала

Правило 2

Дифференциал суммы или разности функций равен сумме или разности их дифференциалов.

Правило 3

Дифференциал произведения

Правило 4

Дифференциал частного

Правило 5

Дифференциал числа (константы) равен 0

Пример 1

Выполнить дифференцирование функции.

\[d(4)\]

Решение.

По правилу дифференцирования, дифференциал числа равен 0.

\[d(4)=0\]
Пример 2

Выполнить дифференцирование функции.

\[d(e^{2} )\]

Решение.

По правилу дифференцирования, дифференциал константы равен 0.

\[d(e^{2} )=0\]
Пример 3

Найти дифференциал функции.

\[d(\ln x-2^{x} )\]

Решение.

По правилу дифференцирования, дифференциал разности равен разности дифференциалов функций.

\[d(\ln x-2^{x} )=d(\ln x)-d(2^{x} )\]

Найдем производные данных функций и добавим к ним знак дифференциала

\[d(\ln x-2^{x} )=\frac{1}{x} dx-2^{x} \ln 2dx\]
Пример 4

Найти дифференциал функции.

\[d(4x^{2} +5)\]

Решение.

По правилу дифференцирования, дифференциал суммы равен сумме дифференциалов функций.

\[d(4x^{2} +5)=d(4x^{2} )+d(5)\]

Найдем производные данных функций и добавим к ним знак дифференциала. Производная второй функции так же, как и дифференциал, равна 0.

\[d(4x^{2} +5)=8xdx\]
Пример 5

Найти дифференциал функции.

\[d(e^{x} \cos x)\]

Решение.

По правилу дифференцирования:

\[d(e^{x} \cos x)=d(e^{x} )\cos x+e^{x} d(\cos x)\]

Найдем производные данных функций и добавим к ним знак дифференциала.

\[d(e^{x} \cos x)=e^{x} dx\cdot \cos x-e^{x} \sin xdx\]
Пример 6

Найти дифференциал функции.

\[d(18shx)\]

Решение.

Вынесем числовой множитель за знаки дифференциала

\[d(18shx)=18d(shx)\]

Найдем производную функции и добавим знак дифференциала.

\[d(18shx)=18chxdx\]
Пример 7

Найти дифференциал функции.

\[d(\frac{\arccos x}{5x} )\]

Решение.

Вынесем числовой множитель за знаки дифференциала

\[d(\frac{\arccos x}{5x} )=\frac{1}{5} d(\frac{\arccos x}{x} )\]

По формуле частного найдем дифференциал

\[d\left(\frac{u}{v} \right)=\frac{vdu-udv}{v^{2} } \] \[d\left(\frac{\arccos x}{x} \right)=\frac{xd\left(\arccos x\right)-\arccos xdE}{E^{2} } \] \[d\left(\frac{\arccos x}{x} \right)=\frac{\frac{-xdx}{\sqrt{1-x^{2} } } -\arccos xdE}{E^{2} } =-\frac{\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2} } } +\arccos dE}{E} \]
Пример 8

Найти дифференциал функции.

\[y=x^{2} e^{x} \]

Решение.

По формуле произведения найдем дифференциал

\[dy=x^{2} d\left(e^{x} \right)+e^{x} d\left(x^{2} \right)\] \[dy=x^{2} e^{x} xdx+e^{x} 2xdx\]

Упростим

\[dy=x^{2} e^{x} xdx+e^{x} 2xdx=x^{2} e^{x} (x+2)dx\]