Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Линейная алгебра

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Все предметы / Математика / Линейная алгебра

Исторический экскурс

Определение 1

Линейная алгебра – это раздел математики, который изучает разнообразные системы и структуры линейной природы. В качестве таких объектов выделяют: линейные уравнения и пространства, отображения, векторы и иное.

Так исторически заложено, что первым предметом линейной алгебры были линейные уравнения, а с построением системы уравнений использоваться стали иные инструменты, такие как матрицы и определители, тем самым появились теории векторных пространств.

После того как Декарт и Ферма разработали систему координат, линейные уравнения стали естественным предметом изучения, наравне с уравнением прямых и плоскостей. Так в 1833 году Гамильтон в своем исследовании представил комплексные числа в виде двухмерного векторного пространства, также ему принадлежит честь открытия кватернионов и введения понятия «вектор».

Теория матриц была разработана в 1850-х годах Кэли.

Система линейных уравнений в матрично-векторном представлении была впервые отражена в трудах Лагерра (1867). Грассман в трудах 1844 и 1862 годов изучал разделы алгебры, а его формальное изложение стало прототипом первой аксиоматической теории алгебраических систем.

В работах Пеано 1888 года были сформулированы аксиомы линейного пространства.

Теоретический экскурс

Разделы линейной алгебры направлены на изучение векторных пространств и функций, которые могут отображать одно векторное пространство в другом. Основу ее составляют линейные и нелинейные функции, но не менее важными являются понятия «вектор» и «векторное пространство».

В учебниках курса линейной алгебры приведены абстрактные определения векторного пространства, потому как оно представляет собой аддитивно записанную абелеву группу с определенным умножением на скаляры, которые удовлетворяют четырем аксиомам.

Замечание 1

Вектор является направленным отрезком, а множество направленных отрезков составляет векторное пространство.

Раздел линейной алгебры «Многочлены» изучает их сложение друг с другом и умножение на число. При этом операции сложения многочленов и умножения их на число, с точки зрения алгебры, осуществляются по тем же правилам, что и правила сложения и умножения направленных отрезков. Поэтому множество многочленов можно считать векторным пространством, а сами многочлены – векторами.

Потому как многочлены схожи с векторами, то они должны обладать координатами (для вектора характерны две координаты, а для вектора в пространстве – три). Линейная алгебра определяет размерность как максимальное число линейно независимых векторов. Векторы $х_1, х_2, … х_n$ называются линейно зависимыми, если найдутся числа $а_1, а_2, … а_n$, из которых хотя бы одно не равно нулю, так чтобы выполнялось равенство:

$а_1х_1 + а_2х_2 + … + а_nx_n = 0$

Если векторы не выполняют условие линейно зависимых, то они относятся к линейно независимым.

Понятие линейной зависимости обобщено понятиями параллельных и компланарных векторов.

Замечание 2

Два вектора являются линейно зависимыми, когда они параллельны. Три вектора являются линейно зависимыми, когда они компланарны.

Размерность пространства может быть как конечной, то есть пространство многочленов степени не выше $N$, а также бесконечной, то есть пространство всех многочленов. Оба случая могут быть применены на практике, но, как правило, в алгебре ограничиваются конечноразмерными пространствами.

Пример 1

Пусть имеются линейно зависимые векторы $х_1, х_2, … х_n$ и $n$ – размерность пространства. Тогда любой из векторов $х$ может быть записан в виде линейной комбинации $х_1, х_2, … х_n$ естественным способом. Коэффициенты, которые соответствуют линейной комбинации имеют название координат.

После введения основных понятий можно говорить о расширении фундаментальной линейной алгебры через понятия линейной комбинации и линейной зависимости.

В n-мерном линейном пространстве не может существовать более, чем n линейно зависимых векторов. Данный факт относится к краеугольным проблемам линейной алгебры.

Полезность линейной алгебры обусловлена практичностью динамических таблиц, которые позволяют решить любую задачу из реального мира. Сила линейной алгебры состоит в удобстве системы обозначения, позволяющей привести табличные вычисления в обычные математические уравнения.

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис