Сложная функция -- это функция, аргументом которой является другая функция.
Сложная функция обозначается $f(g(x))$, где $g(x)$ -- функция аргумент f.
Базовая формула нахождения производной сложной функции:
\[f(g(x))'=f'(g(x))\cdot g'(x)\]Таблица 1
Производные сложных функций
Вычислить производную сложной функции
\[y=\sqrt{x^{3} -x^{2} -1} \]Решение.
- По табличной формуле: \[\left(\sqrt{f(x)} \right){{'} } =\frac{1}{2\sqrt{f(x)} } \cdot f'(x)\]
- Найдем производную второго слагаемого \[y'=\frac{1}{2\sqrt{x^{3} -x^{2} -1} } \cdot \left(x^{3} -x^{2} -1\right){{'} } =\frac{1}{2\sqrt{x^{3} -x^{2} -1} } \cdot 3x^{2} -2x=\frac{3x^{2} -2x}{2\sqrt{x^{3} -x^{2} -1} } \]
Распишем производную сложной функции
\[y'=\frac{1}{2\sqrt{x^{3} -x^{2} -1} } \cdot \left(x^{3} -x^{2} -1\right){{'} } \]Итогом вычисления станет запись вида:
\[y'=\left(\sqrt{x^{3} -x^{2} -1} \right){{'} } =\frac{3x^{2} -2x}{2\sqrt{x^{3} -x^{2} -1} } \]Вычислить производную сложной функции
\[y=\ln (4x^{2} -8)\]Решение.
- По табличной формуле: \[\left(\ln f(x)\right){{'} } =\frac{1}{f(x)} \cdot f'(x)\]
- Найдем производную вложенной функции \[y'=\frac{1}{4x^{2} -8} \cdot \left(4x^{2} -8\right){{'} } =\frac{4\cdot 2x}{4x^{2} -8} \]
- Упростим дробь. Для этого вынесем число 4 в числителе и знаменателе
Распишем производную сложной функции
\[y'=\frac{1}{4x^{2} -8} \cdot \left(4x^{2} -8\right){{'} } \]$y'=\frac{4\cdot 2x}{4x^{2} -8} =\frac{4\cdot 2x}{4\left(x^{2} -2\right)} =\frac{2E}{\left(x^{2} -2\right)} $$y'=\frac{4\cdot 2x}{4x^{2} -8} =\frac{4\cdot 2x}{4\left(x^{2} -2\right)} =\frac{2E}{\left(x^{2} -2\right)} $
Вычислить производную сложной функции
\[y=\sin (x^{5} -ctg^{2} x)\]Решение.
- Запишем формулу производной тригонометрической функции: \[\left(\sin f(x)\right){{'} } =\cos f(x)\cdot f'(x)\]
- По правилу производной разности \[y'=\cos (x^{5} -ctg^{2} x)\cdot (x^{5} -ctg^{2} x)'=\cos (x^{5} -ctg^{2} x)\cdot (5x^{4} +\frac{2ctgx}{\sin ^{2} x} )\]
Распишем производную сложной функции
\[y'=\sin (x^{5} -ctg^{2} x)'=\cos (x^{5} -ctg^{2} x)\cdot (x^{5} -ctg^{2} x)'\]Вычислить производную сложной функции
\[y=e^{arctgx} \]Решение.
- Запишем формулу производной тригонометрической функции: \[\left(e^{f(x)} \right){{'} } =e^{f(x)} \cdot f'(x)\]
- Найдем производную второго слагаемого и упростим выражение \[y'=e^{arctgx} \cdot \left(arctgx\right){{'} } =e^{arctgx} \cdot \frac{1}{1+x^{2} } =\frac{e^{arctgx} }{1+x^{2} } \]
Распишем производную сложной функции
\[y'=\left(e^{arctgx} \right){{'} } =e^{arctgx} \cdot \left(arctgx\right){{'} } \]
