Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Геометрический смысл дифференциала

Все предметы / Математика / Производная и дифференциал / Геометрический смысл дифференциала

Приращение функции $\Delta $y равно величине отрезка BD (рис.1). Дифференциал dy равен величине отрезка ВС, где С -- точка пересечения касательной Т с вертикальной прямой, проходящей через точку х + $\Delta $х оси Ох.

Геометрический смысл дифференциала

Рисунок 1. Геометрический смысл дифференциала

Таким образом, геометрический смысл дифференцирования заключается в приращении ординаты касательной, соответствующей приращению аргумента dx = $\Delta $х. Значит, dy = y`dx, а дифференциал функции равен произведению ее производной на приращение независимой переменной.

Пример 1

Определить приращение и дифференциал функции y = 2х3+5 при переходе х от значения 1 к значению 1,05.

Решение.

  1. Определим приращение заданной функции при произвольных значениях х и $\Delta $х.
  2. \[dy=y'dx=6x^{2} dx\] \[\Delta y=2(x+\Delta x)^{3} +5-2x^{3} -5=2x^{3} +6x^{2} \Delta x+6x\Delta x^{2} +2\left(\Delta x\right)^{2} +5-2x^{3} -5\] \[\Delta y=6x^{2} \Delta x+6x\Delta x^{2} +2\left(\Delta x\right)^{2} \]
  3. Найдем приращение аргумента.
  4. \[\Delta x=1,05-1=0,05\]
  5. Подставим числовые значения в равенство приращения функции
  6. \[\Delta y=6\cdot 1^{2} \cdot 0,05+6\cdot 1\cdot 0,05^{2} +2\left(0,05\right)^{2} =0,3+0,015+0,005=0,32\]
Пример 2

Доказать, что если $\Delta $х -- бесконечно малая величина, то с точностью до бесконечно малой высшего порядка имеет место приближенное равенство sin $\Delta $х ≈ $\Delta $х

Доказательство.

Рассмотрим функцию y = sinx. Приращение этой функции $\Delta $y = sin (x + $\Delta $х) -- sinx, а ее дифференциал dy = cosx $\Delta $х. Поскольку $\Delta y\approx dy$:

sin (x + $\Delta $х) -- sinx ≈ cosx $\Delta $х

sin (x + $\Delta $х) ≈ cosx $\Delta $х + sinx

Предположим что $х = 0$, тогда формула имеет вид:

sin (0 + $\Delta $х) ≈ cos0 $\Delta $х + sin0

sin $\Delta $х ≈ $\Delta $х

Формула, полученная в доказательстве примера 2, показывает, что для малых углов (в радианах) синус равен числу радиан, содержащихся в угле.

sin $\Delta $х ≈ $\Delta $х

Например, 40 = 0,0698, значит sin0,0698 ≈ 0,0698.

Готовые работы на аналогичную тему

Пример 3

Прямым измерением найдено, что диаметр круга равен 5,2 см, причем максимальная погрешность измерения составляет 0,01. Найти приближенную относительную и процентную погрешности в вычисленной площади этого круга.

Решение.

Относительная погрешность вычисления площади находится по формуле:

\[\delta _{s} =\frac{\Delta s}{s} \]

Приближенное значение получается в следствие замены $\Delta $s на ds. Поэтому приближенный расчет будет производиться по формуле:

\[\delta _{s} =\frac{ds}{s} \]

Поскольку площадь круга с радиусом х равна:

\[s=\frac{1}{4} \pi x^{2} \] \[ds=\frac{1}{2} \pi xdx\]

Таким образом,

\[\delta _{s} =\frac{\frac{1}{2} \pi xdx}{\frac{1}{4} \pi x^{2} } =2\frac{dx}{x} \]

Заменим х и dx числовыми значениями

\[\delta _{s} =2\frac{0,01}{5,2} \approx 0,004\]

(что составляет погрешность 4%)

Пример 4

Доказать, что приближенная относительная погрешность вычисленного объема шара равна утроенной погрешности в измерении его диаметра.

Решение.

Объем шара с диаметром х вычисляется по формуле:

\[V=\frac{1}{6} \pi x^{3} \]

Погрешность вычислений $\Delta $V приближенно равна

\[dV=\frac{1}{2} \pi x^{2} dx\]

Тогда относительная погрешность составит:

\[\delta _{V} \approx \frac{dV}{V} \] \[\delta _{V} \approx \frac{\frac{1}{2} \pi x^{2} dx}{\frac{1}{6} \pi x^{3} } \] \[\delta _{V} \approx 3\frac{dx}{x} \]

Поскольку относительная погрешность измерения диаметра равна:

\[\delta _{x} \approx \frac{dx}{x} \]

То относительная погрешность равна:

\[\delta _{V} \approx 3\delta _{x} \]
Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Ирина Алексеевна Антоненко

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис