Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Делимость чисел

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Все предметы / Математика / Делимость чисел

В жизни мы часто встречаемся с необходимостью разделить что-либо на несколько равных частей. Например, необходимо разделить $20$ яблок (не разрезая) на $4$ человека поровну, чтобы яблок не осталось, или $15$ конфет на $5$ человек в равном количестве без остатка и т.д. Решение подобных задач основывается на делимости чисел. Действительно, можно поровну без остатка и не разрезая разделить $20$ яблок между $5$ людьми, но нельзя таким образом их разделить между $6$- либо часть яблок останется, либо яблоки придется резать. В таком случае говорят, что число $5$ является делителем числа $20$, а число $6$- не является

Определение 1

Делителем натурального числа, а называют натуральное число, на которое исходное число, а делится без остатка.

Помощь со студенческой работой на тему
Делимость чисел

Пример 1

Найти делители числа $6$

Решение: Нам надо найти все числа, на которые заданное число 6 делится без остатка. Это будут числа: $1,2,3,6$. Значит делителем числа $6$ будут числа $1,2,3,6$.

Ответ: $1,2,3,6$

Значит, для того, чтобы найти делители числа, надо найти все натуральные числа, на которые данное делится без остатка. Нетрудно заметить, что число $1$ будет являться делителем любого натурального числа.

Пример 2

На сколько равных кучек можно разделить $15$ орехов?

Решение. Нам необходимо разделить поровну нацело $15$ орехов, т.е. найти делители числа $15$. Найдем числа, на которые число $15$ делится без остатка

Это числа:$1,3,5,15$. Значит $15$ орехов можно разделить на $1,3,5,15$ равных кучек.

$Ответ$: на $1,3,5,15$ кучек

Простые и составные числа

Определение 2

Простыми числами называют числа, у которых только $2$ делителя: $1$ и оно само.

Определение 3

Составным называют число, у которого кроме единицы и самого себя есть другие делители.

Пример 3

Примером простого числа может являться число $13$, примером составного число $14$.

Замечание 1

Число $1$ имеет только один делитель-само это число, поэтому его не относят ни к простым, ни к составным.

Свойство составных и простых чисел

Любое составное число можно разложить на $2$ множителя каждый из которых больше единицы. Простое число так представить нельзя.

Действительно, простое число $17$ можно представить в виде произведения множителей только так: $17=1\cdot 17$, а составное число $18=1\cdot 2\cdot 9$. У составного числа $18$ три множителя, два из которых больше единицы.

Всякое составное число можно разложить на простые множители и представить в виде произведения множителей, которые являются простыми числами.

Наибольший общий делитель

Пример 4

Найдем делители чисел $12$ и $18$

Решение:

$12:1,2,3,4,6,12$

$18:1,2,3,6,9,18$

Вывод: Мы видим, что у этих чисел некоторые делители $(1,2,3,6)$ одинаковые, некоторые- различны. Одинаковые делители называют общими делителями этих чисел.

Наибольшим общим делителем называют наибольший делитель двух и более чисел. У этих чисел наибольший общий делитель равен $6.$

Определение 4

Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа $a$ и $b$, называют наибольшим общим делителем этих чисел.

Пример 5

Найдем делители чисел $24$ и $35$

Решение:

$24:1,2,3,4,6,12,24$

$35:1,5,7,35$

Вывод: У этих чисел наибольший общий делитель равен $1$.

Определение 5

Числа, у которых наибольший общий делитель равен $1$ называются взаимно простыми.

Алгоритм нахождения наибольшего общего делителя

Чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел необходимо:

  1. Разложить числа на простые множители

  2. Выбрать числа, которые входят в разложение этих чисел

  3. Найти произведение чисел, найденных на шаге $2$. Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

Пример 6

Найти НОД чисел $121$ и $132$

Решение: Будем находить согласно представленному алгоритму. Для этого

  1. разложить числа на простые множители

    $242=2\cdot 11\cdot 11$

    $132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

  2. Выбрать числа, которые входят в разложение этих чисел

    $242=2\cdot 1\cdot 11$

    $132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

  3. Найти произведение чисел, найденных на шаге $2$. Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

    НОД=$2\cdot 11=22$

Пример 7

Найти НОД чисел $63$ и $81$

Решение: Найдём НОД чисел $63$ и $81$

  1. разложим числа на простые множители

    $63=3\cdot 3\cdot 7$

    $81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

  2. Выбираем числа, которые входят в разложение этих чисел

    $63=3\cdot 3\cdot 7$

    $81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

  3. Найдем произведение чисел, найденных на шаге $2$. Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

    НОД=$3\cdot 3=9$

Для того чтобы проще было искать делители чисел, часто пользуются признаками делимости. Вспомним ряд из них.

Признак делимости на 5

Если последняя цифра в записи числа $5$ или $0$, то число делится на $5$ без остатка

Пример 8

Например, $5,130,1567890$ и т.д.

Признак делимости на 10

Если последняя цифра в записи $0$, то число делится на $10$ без остатка

Пример 9

Например, $500,1390,154320$ и т.д.

Признак делимости на 3

Если сумма цифр, входящих в состав числа делится на $3$, то число делится на $3$ без остатка

Пример 10

Например, $510,1380,154320$ и т.д.

Признак делимости на 9

Если сумма цифр, входящих в состав числа делится на $9$, то число делится на $9$ без остатка

Пример 11

Например, $5130,13860,1543230$ и т.д.

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис