Формулы производных

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Производная характеризует скорость изменения функции в определенной точке. На рисунке 1 изображена производная функции на координатной плоскости.

Производная функции

Рисунок 1. Производная функции

Формулы нахождения производной

1) Производная постоянного значения равна 0

Пример 1

Найти производную

$y=3$

Решение:

$y'=3'=0$

2) Производная неизвестной величины равна единице

$x'=1$

3) Если выражение содержит постоянную величину -- ее необходимо вынести за знак предела.

$y'=\left(c\cdot f\left(x\right)\right)^{{'} } =c\cdot f'\left(x\right)$

Пример 2

Найти производную

$y=3x$

Решение:

$y'=\left(3x\right)^{{'} } =3x'=3\cdot 1=3$

4) Производная степенной функции находится как произведение значения степени на степенное выражение, степень которого уменьшена на 1.

$y'=\left(x^{n} \right)^{{'} } =n\cdot x^{n-1}$

Пример 3

Найти производную

$y=2x^{5}$

Решение:

$y'=\left(2x^{5} \right)^{{'} } =2(x^{5} )'=2\cdot 5\cdot x^{5-1} =10\cdot x^{4}$

5) Производная экспоненты равна самой экспоненте

6) Производная числа в степени х равна произведения данного выражения на логарифм числа:

$y'=\left(a^{x} \right)^{{'} } =a^{x} \cdot \log a$

Пример 4

Найти производную

$y=10^{x}$

Решение:

$y'=\left(10^{x} \right)^{{'} } =10^{x} \cdot \log 10=10^{x} \cdot 1=10^{x}$

«Формулы производных» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

7) Производная sinx равна cosx

8) Производная cosx равна --sinx

9) Производная тангенса равна частному единицы и квадратному косинусу х

$y'=\left(tgx\right)^{{'} } =\frac{1}{\cos ^{2} x}$

10) Производная котангенса равна частному минус единицы и квадратному синусу х

$y'=\left(ctgx\right)^{{'} } =-\frac{1}{\sin ^{2} x}$

11) Производная арксинуса равна:

$y'=\left(\arcsin x\right)^{{'} } =\frac{1}{\sqrt{1-x^{2} } }$

12) Производная арккосинуса равна:

$y'=\left(\arccos x\right)^{{'} } =-\frac{1}{1-x^{2} }$

13) Производная арктангенса равна:

$y'=\left(arctgx\right)^{{'} } =\frac{1}{1+x^{2} }$

14) Производная арккотангенса противоположна производной арктангенса и равна:

$y'=\left(arctgx\right)^{{'} } =-\frac{1}{1+x^{2} }$

15) Производная суммы функций равна сумме их производных:

$\left(x+y+...+z\right)^{{'} } =x'+y'+...+z'$

Пример 5

Найти производную

$y=10^{x}$

Решение:

$y'=\left(10^{x} \right)^{{'} } =10^{x} \cdot \log 10=10^{x} \cdot 1=10^{x}$

16) Производная произведения нескольких функций равна:

$y' = (fx1 \cdot fx2 \cdot \dots \cdot fxn) = fx'1fx2fx3\dots fxn + fx1fx'2fx3\dots fxn + \dots + fx1fx2fx3\dots fx'n$

17) Производная частного вычисляется по формуле:

$y'=\left(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)} \right)^{{'} } =\frac{f\left(x\right)^{{'} } g\left(x\right)-g\left(x\right)^{{'} } f\left(x\right)}{g^{2} \left(x\right)}$

Пример 6

Найти производную

$y=\sin x\cdot \cos x\cdot tgx\cdot ctgx$

Решение:

$y'=\left(\sin x\cdot \cos x\cdot tgx\right)^{{'} } =\sin x'\cdot \cos x\cdot tgx+\sin x\cdot \cos x'\cdot tgx+\sin x\cdot \cos x\cdot tgx'=y'=\cos x\cdot \cos x\cdot tgx-\sin x\cdot \sin x\cdot tgx+\sin x\cdot \frac{\cos x}{\cos ^{2} x} =\cos ^{2} x\cdot tgx-\sin x^{2} \cdot tgx+\frac{\sin x}{\cos x} =$

$y'=tgx\left(\cos ^{2} x-\sin x^{2} \right)+tgx=tgx+tgx=2tgx$

Пример 7

Найти производную

$y=\frac{2x^{2} -3}{x^{3} }$

Решение:

$y'=\left(\frac{2x^{2} -3}{x^{3} } \right)^{{'} } =\frac{x^{3} \cdot \left(2x^{2} -3\right)^{{'} } -\left(x^{3} \right)^{{'} } \cdot \left(2x^{2} -3\right)}{\left(x^{3} \right)^{2} } =\frac{x^{3} \cdot 4x-3x^{2} \cdot \left(2x^{2} -3\right)}{\left(x^{3*2} \right)^{} } =\frac{4x^{4} -6x^{4} -9x^{2} }{x^{3*2} } =$