Производная характеризует скорость изменения функции в определенной точке. На рисунке 1 изображена производная функции на координатной плоскости.
Рисунок 1. Производная функции
Формулы нахождения производной
1) Производная постоянного значения равна 0
Найти производную
y=3Решение:
y′=3′=02) Производная неизвестной величины равна единице
x′=13) Если выражение содержит постоянную величину -- ее необходимо вынести за знак предела.
y′=(c⋅f(x))′=c⋅f′(x)Найти производную
y=3xРешение:
y′=(3x)′=3x′=3⋅1=34) Производная степенной функции находится как произведение значения степени на степенное выражение, степень которого уменьшена на 1.
y′=(xn)′=n⋅xn−1Найти производную
y=2x5Решение:
y′=(2x5)′=2(x5)′=2⋅5⋅x5−1=10⋅x45) Производная экспоненты равна самой экспоненте
6) Производная числа в степени х равна произведения данного выражения на логарифм числа:
y′=(ax)′=ax⋅logaНайти производную
y=10xРешение:
y′=(10x)′=10x⋅log10=10x⋅1=10x7) Производная sinx равна cosx
8) Производная cosx равна --sinx
9) Производная тангенса равна частному единицы и квадратному косинусу х
y′=(tgx)′=1cos2x10) Производная котангенса равна частному минус единицы и квадратному синусу х
y′=(ctgx)′=−1sin2x11) Производная арксинуса равна:
y′=(arcsinx)′=1√1−x212) Производная арккосинуса равна:
y′=(arccosx)′=−11−x213) Производная арктангенса равна:
y′=(arctgx)′=11+x214) Производная арккотангенса противоположна производной арктангенса и равна:
y′=(arctgx)′=−11+x215) Производная суммы функций равна сумме их производных:
(x+y+...+z)′=x′+y′+...+z′Найти производную
y=10xРешение:
y′=(10x)′=10x⋅log10=10x⋅1=10x16) Производная произведения нескольких функций равна:
y′=(fx1⋅fx2⋅⋯⋅fxn)=fx′1fx2fx3…fxn+fx1fx′2fx3…fxn+⋯+fx1fx2fx3…fx′n
17) Производная частного вычисляется по формуле:
y′=(f(x)g(x))′=f(x)′g(x)−g(x)′f(x)g2(x)Найти производную
y=sinx⋅cosx⋅tgx⋅ctgxРешение:
y′=(sinx⋅cosx⋅tgx)′=sinx′⋅cosx⋅tgx+sinx⋅cosx′⋅tgx+sinx⋅cosx⋅tgx′=y′=cosx⋅cosx⋅tgx−sinx⋅sinx⋅tgx+sinx⋅cosxcos2x=cos2x⋅tgx−sinx2⋅tgx+sinxcosx=Найти производную
y=2x2−3x3Решение:
y′=(2x2−3x3)′=x3⋅(2x2−3)′−(x3)′⋅(2x2−3)(x3)2=x3⋅4x−3x2⋅(2x2−3)(x3∗2)=4x4−6x4−9x2x3∗2=