Центральные понятия дифференциального исчисления -- производная и дифференциал возникли при рассмотрении множества задач естествознания и математики, каждая из которых приводила к вычислению пределов одного типа.
Производная функции
Если отношение
\[\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \]имеет конечный предел при стремлении приращения независимой переменной к 0, то такой предел называется производной функции f(х) при заданном х.
Производная функции - одно из основных понятий математики, а в математическом анализе производная наряду с интегралом занимает центральное место.
Дифференцирование
Процесс нахождения производной называется дифференцированием. Обратная операция - восстановление функции по известной производной --интегрированием.
Для нахождения производной функции f(x) в точке x0 на основе определения следует выполнить следующие действия:
- Записать отношение \[\frac{\Delta y}{\Delta x} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \]
- Упростить дробь, сократив ее, если возможно, на $\Delta x$;
- Найти производную f'(x0), вычисляя предел полученного выражения. Если данный предел существует, то говорят, что функция f(x) дифференцируема в точке x0.
Производная сложной функции равна произведению производной по промежуточной переменной по независимой переменной:
\[Z'x=F`\left(y\right)f'\left(x\right)\]Найти производную функции
\[y=\ln x\]Решение.
\[\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} =\frac{\ln (x+\Delta x)-\ln (x)}{\Delta x} =\frac{\ln (\frac{x+\Delta x}{x} )}{\Delta x} =\] \[=\frac{1}{\Delta x} \ln (1+\frac{\Delta x}{x} )\]Введем новую переменную u = x/$\Delta $х которая стремится к бесконечности и найдем предел новой функции
\[\mathop{\lim }\limits_{u\to \infty } \frac{u}{x} \ln (1+\frac{1}{u} )=\mathop{\lim }\limits_{u\to \infty } \frac{1}{x} \ln (1+\frac{1}{u} )^{u} =\frac{1}{x} \mathop{\lim }\limits_{u\to \infty } \ln (1+\frac{1}{u} )^{u} =\frac{1}{x} \ln e=\frac{1}{x} \]Вычислить производную функции
\[y=\frac{2x^{4} -x^{2} -1}{x-1} \]Решение.
По формуле разности функций вычислим производную
\[y'=\left(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)} \right)^{{'} } =\frac{f\left(x\right)^{{'} } g\left(x\right)-g\left(x\right)^{{'} } f\left(x\right)}{g^{2} \left(x\right)} \]За f(x) примем числитель, а за g(x) - знаменатель
\[y`=\frac{\left(2x^{4} -x^{2} -1\right)`\left(x-1\right)-\left(2x^{4} -x^{2} -1\right)\left(x-1\right)`}{\left(x-1\right)^{2} } =\]Найдем производные отдельные множителей и упростим дробь
\[=\frac{\left(2\cdot 4\cdot x^{3} -2x\right)\cdot \left(x-1\right)-\left(2x^{4} -x^{2} -1\right)}{x^{2} -2x+1} =\frac{8x^{4} -2x^{2} -8x^{3} +2x-2x^{4} +x^{2} +1}{x^{2} -2x+1} =\] \[=\frac{6x^{4} -8x^{3} -x^{2} +2x+1}{x^{2} -2x+1} =\frac{(6x^{2} +4x+1)(x^{2} -2x+1)}{x^{2} -2x+1} =6x^{2} +4x+1\]Найти производную сложной функции
\[y=\sqrt{5x^{2} +2x-1} \]Решение.
По правилу нахождения производной сложной функции вычислим производную и умножим ее на производную подкоренного выражения.
\[y'=\left(\sqrt{3x^{2} +x-1} \right)^{{'} } =\frac{1}{2\sqrt{3x^{2} +x-1} } \left(3x^{2} +x-1\right)^{{'} } =\] \[=\frac{3\cdot 2x+1}{2\sqrt{3x^{2} +x-1} } =\frac{6x+1}{2\sqrt{3x^{2} +x-1} } \]Дифференциалом функции называется произведение производной этой функции на приращение независимой переменной.
Дифференциал функции обозначается dy и имеет запись вида:
dy = f `(x) $\Delta $хДифференциалом независимой переменной называется ее приращение dx = $\Delta $х.
$\Delta $y = dy + $\alpha $$\Delta $хДифференцирование основных элементарных функций получается путем нахождения производной и добавления к ней переменной $dx$.
\[d(cu)=cdu\] \[d(u\pm v)=du\pm dv\] \[d(uv)=udv+vdu\] \[d\left(\frac{u}{v} \right)=\frac{vdu-udv}{v^{2} } \]Найти дифференциал функции.
\[d(4x^{2} +5)\]Решение.
По правилу дифференцирования, дифференциал суммы равен сумме дифференциалов функций.
\[d(4x^{2} +5)=d(4x^{2} )+d(5)\]Найдем производные данных функций и добавим к ним знак дифференциала. Производная второй функции так же как и дифференциал равна 0.
\[d(4x^{2} +5)=8xdx\]Найти дифференциал функции.
\[d(e^{x} \cos x)\]Решение.
По правилу дифференцирования:
\[d(e^{x} \cos x)=d(e^{x} )\cos x+e^{x} d(\cos x)\]Найдем производные данных функций и добавим к ним знак дифференциала.
\[d(e^{x} \cos x)=e^{x} dx\cdot \cos x-e^{x} \sin xdx\]
