Производная и дифференциал

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Центральные понятия дифференциального исчисления -- производная и дифференциал возникли при рассмотрении множества задач естествознания и математики, каждая из которых приводила к вычислению пределов одного типа.

Производная функции

Определение

Если отношение

$\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

имеет конечный предел при стремлении приращения независимой переменной к 0, то такой предел называется производной функции f(х) при заданном х.

Производная функции - одно из основных понятий математики, а в математическом анализе производная наряду с интегралом занимает центральное место.

Дифференцирование

Процесс нахождения производной называется дифференцированием. Обратная операция - восстановление функции по известной производной --интегрированием.

Для нахождения производной функции f(x) в точке x0 на основе определения следует выполнить следующие действия:

Записать отношение

$\frac{\Delta y}{\Delta x} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

Упростить дробь, сократив ее, если возможно, на $\Delta x$ ;
Найти производную f'(x0), вычисляя предел полученного выражения. Если данный предел существует, то говорят, что функция f(x) дифференцируема в точке x0.

Производная сложной функции равна произведению производной по промежуточной переменной по независимой переменной:

$Z'x=F`\left(y\right)f'\left(x\right)$

Пример 1

Найти производную функции

$y=\ln x$

Решение.

$\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} =\frac{\ln (x+\Delta x)-\ln (x)}{\Delta x} =\frac{\ln (\frac{x+\Delta x}{x} )}{\Delta x} =$

$=\frac{1}{\Delta x} \ln (1+\frac{\Delta x}{x} )$

Введем новую переменную u = x/ $\Delta$ х которая стремится к бесконечности и найдем предел новой функции

$\mathop{\lim }\limits_{u\to \infty } \frac{u}{x} \ln (1+\frac{1}{u} )=\mathop{\lim }\limits_{u\to \infty } \frac{1}{x} \ln (1+\frac{1}{u} )^{u} =\frac{1}{x} \mathop{\lim }\limits_{u\to \infty } \ln (1+\frac{1}{u} )^{u} =\frac{1}{x} \ln e=\frac{1}{x}$

Пример 2

Вычислить производную функции

$y=\frac{2x^{4} -x^{2} -1}{x-1}$

Решение.

По формуле разности функций вычислим производную

$y'=\left(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)} \right)^{{'} } =\frac{f\left(x\right)^{{'} } g\left(x\right)-g\left(x\right)^{{'} } f\left(x\right)}{g^{2} \left(x\right)}$

За f(x) примем числитель, а за g(x) - знаменатель

$y`=\frac{\left(2x^{4} -x^{2} -1\right)`\left(x-1\right)-\left(2x^{4} -x^{2} -1\right)\left(x-1\right)`}{\left(x-1\right)^{2} } =$

Найдем производные отдельные множителей и упростим дробь

$=\frac{\left(2\cdot 4\cdot x^{3} -2x\right)\cdot \left(x-1\right)-\left(2x^{4} -x^{2} -1\right)}{x^{2} -2x+1} =\frac{8x^{4} -2x^{2} -8x^{3} +2x-2x^{4} +x^{2} +1}{x^{2} -2x+1} =$