Перпендикулярность прямых и плоскостей

Пусть через две заданные точки $M_{1} \left(x_{1} ,y_{1} ,z_{1} \right)$ и $M_{2} \left(x_{2} ,y_{2} ,z_{2} \right)$ необходимо провести плоскость перпендикулярно к данной плоскости $a\cdot x+b\cdot y+c\cdot z+d=0$.

Очевидно, что некоторая плоскость $A\cdot x+B\cdot y+C\cdot z+D=0$, которая проходит через две заданные точки, удовлетворяет двум уравнениям $A\cdot \left(x-x_{1} \right)+B\cdot \left(y-y_{1} \right)+C\cdot \left(z-z_{1} \right)=0$ и $A\cdot \left(x_{2} -x_{1} \right)+B\cdot \left(y_{2} -y_{1} \right)+C\cdot \left(z_{2} -z_{1} \right)=0$. Условие перпендикулярности обеих плоскостей имеет вид: $a\cdot A+b\cdot B+c\cdot C=0$. Полученная однородная система трех уравнений с тремя неизвестными $A$, $B$ и $C$ имеет ненулевое решение только тогда, когда определитель основной матрицы системы равняется нулю: $\left|\begin{array}{ccc} {x-x_{1} } & {y-y_{1} } & {z-z_{1} } \\ {x_{2} -x_{1} } & {y_{2} -y_{1} } & {z_{2} -z_{1} } \\ {a} & {b} & {c} \end{array}\right|=0$. Данное уравнение является уравнением нужной плоскости.

Требуется найти проекцию заданной точки $M_{0} \left(x_{0} ,y_{0} ,z_{0} \right)$ на заданную плоскость $A\cdot x+B\cdot y+C\cdot z+D=0$.

Пусть точка $M_{0}$ проецируется на плоскость в точку $P\left(x,y,z\right)$. Построим вектор $\overline{M_{0} P}=\left(x-x_{0} \right)\cdot \overline{i}+\left(y-y_{0} \right)\cdot \overline{j}+\left(z-z_{0} \right)\cdot \overline{k}$. Этот вектор коллинеарен нормальному вектору плоскости $\overline{N}=A\cdot \overline{i}+B\cdot \overline{j}+C\cdot \overline{k}$. Применяем условие коллинеарности векторов: $\frac{x-x_{0} }{A} =\frac{y-y_{0} }{B} =\frac{z-z_{0} }{C}$. Эти два уравнения вместе с уравнением плоскости $A\cdot x+B\cdot y+C\cdot z+D=0$ образуют систему трех уравнений с тремя неизвестными $x$, $y$ и $z$. Решив ее, найдем координаты точки $P$.

Найти отклонение и расстояние заданной точки $M_{0} \left(x_{0} ,y_{0} ,z_{0} \right)$ от заданной плоскости $x\cdot \cos \alpha +y\cdot \cos \beta +z\cdot \cos \gamma -p=0$.

Отклонение точки $M_{0}$ от плоскости есть результат подстановки ее координат в нормальное уравнение плоскости: $\delta =x_{0} \cdot \cos \alpha +y_{0} \cdot \cos \beta +z_{0} \cdot \cos \gamma -p$. Если точка $M_{0}$ и начало координат расположены по разные стороны от плоскости, то $\delta >0$, а если по одну сторону, то $\delta

Найдем координаты точки пересечения плоскости $P$ и прямой $L$.

Для этого подставим параметрические уравнения прямой в общее уравнение плоскости:

Отсюда получаем формулу: $t=-\frac{A\cdot x_{0} +B\cdot y_{0} +C\cdot z_{0} +D}{A\cdot m+B\cdot n+C\cdot p}$.

При вычислении $t$ возможные три случая:

1. Знаменатель не равняется нулю: $A\cdot m+B\cdot n+C\cdot p\ne 0$. Тогда параметр $t$ имеет единственное значение, которое нужно подставить в параметрические уравнения прямой $L$. При этом будут получены координаты нужной точки сечения.
2. Знаменатель равняется нулю $A\cdot m+B\cdot n+C\cdot p=0$, но числитель нулю не равняется $A\cdot x_{0} +B\cdot y_{0} +C\cdot z_{0} +D\ne 0$. Тогда решение поставленной задачи отсутствует, поскольку прямая $L$ плоскость $P$ не пересекает. Это бывает тогда, когда прямая параллельна плоскости.
3. Знаменатель равняется нулю $A\cdot m+B\cdot n+C\cdot p=0$, и числитель также равняется нулю $A\cdot x_{0} +B\cdot y_{0} +C\cdot z_{0} +D=0$. Тогда поставленная задача имеет множество решений. Это бывает тогда, когда прямая $L$ принадлежит плоскости $P$.

Через заданную точку $M_{0} \left(x_{0} ,y_{0} ,z_{0} \right)$ требуется провести плоскость перпендикулярно заданному вектору $\overline{N}=A\cdot \overline{i}+B\cdot \overline{j}+C\cdot \overline{k}$.

Запишем общее уравнение нужной плоскости в виде $A\cdot x+B\cdot y+C\cdot z+D=0$. Его коэффициенты совпадают с координатами вектора $\overline{N}$. Эта плоскость должна пройти через заданную точку $M_{0}$, поэтому $A\cdot \left(x-x_{0} \right)+B\cdot \left(y-y_{0} \right)+C\cdot \left(z-z_{0} \right)=0$ -- уравнение нужной плоскости.