Перпендикулярность плоскостей
Заданы плоскости $A_{1} \cdot x+B_{1} \cdot y+C_{1} \cdot z+D_{1} =0$ и $A_{2} \cdot x+B_{2} \cdot y+C_{2} \cdot z+D_{2} =0$.
Углом между двумя плоскостями будем называть любой угол из двух смежных двугранных углов, образованных этими плоскостями. Если величина одного из них $\phi $, то величина второго $\pi -\phi $. Один из этих углов равен углу между нормальными векторами плоскостей, то есть между векторами $\overline{N_{1} }=A_{1} \cdot \overline{i}+B_{1} \cdot \overline{j}+C_{1} \cdot \overline{k}$ и $\overline{N_{2} }=A_{2} \cdot \overline{i}+B_{2} \cdot \overline{j}+C_{2} \cdot \overline{k}$. Косинус этого угла можно найти по формуле $\cos \phi =\frac{A_{1} \cdot A_{2} +B_{1} \cdot B_{2} +C_{1} \cdot C_{2} }{\sqrt{A_{1}^{2} +B_{1}^{2} +C_{1}^{2} } \cdot \sqrt{A_{2}^{2} +B_{2}^{2} +C_{2}^{2} } } $. Если значение $\cos \phi >0$, то получен острый угол между плоскостями, если $\cos \phi
Итак, условие перпендикулярности двух плоскостей имеет вид $A_{1} \cdot A_{2} +B_{1} \cdot B_{2} +C_{1} \cdot C_{2} =0$.
Пусть через две заданные точки $M_{1} \left(x_{1} ,y_{1} ,z_{1} \right)$ и $M_{2} \left(x_{2} ,y_{2} ,z_{2} \right)$ необходимо провести плоскость перпендикулярно к данной плоскости $a\cdot x+b\cdot y+c\cdot z+d=0$.
Очевидно, что некоторая плоскость $A\cdot x+B\cdot y+C\cdot z+D=0$, которая проходит через две заданные точки, удовлетворяет двум уравнениям $A\cdot \left(x-x_{1} \right)+B\cdot \left(y-y_{1} \right)+C\cdot \left(z-z_{1} \right)=0$ и $A\cdot \left(x_{2} -x_{1} \right)+B\cdot \left(y_{2} -y_{1} \right)+C\cdot \left(z_{2} -z_{1} \right)=0$. Условие перпендикулярности обеих плоскостей имеет вид: $a\cdot A+b\cdot B+c\cdot C=0$. Полученная однородная система трех уравнений с тремя неизвестными $A$, $B$ и $C$ имеет ненулевое решение только тогда, когда определитель основной матрицы системы равняется нулю: $\left|\begin{array}{ccc} {x-x_{1} } & {y-y_{1} } & {z-z_{1} } \\ {x_{2} -x_{1} } & {y_{2} -y_{1} } & {z_{2} -z_{1} } \\ {a} & {b} & {c} \end{array}\right|=0$. Данное уравнение является уравнением нужной плоскости.
Перпендикулярность прямых
Пусть в пространстве заданы две прямые $L_{1} $ и $L_{2} $, а именно: $\frac{x-x_{1} }{m_{1} } =\frac{y-y_{1} }{n_{1} } =\frac{z-z_{1} }{p_{1} } $ и $\frac{x-x_{2} }{m_{2} } =\frac{y-y_{2} }{n_{2} } =\frac{z-z_{2} }{p_{2} } $. Выберем в пространстве произвольную точку и проведем через нее две вспомогательнные прямые, параллельные данным. Углом между прямыми $L_{1} $ и $L_{2} $ называют любой из двух смежных углов, образованных вспомогательными прямыми. Если величина одного из них $\phi $, то величина второго $\pi -\phi $. Вместо вспомогательных прямых можно взять направляющие векторы данных прямых: $\overline{R_{1} }=m_{1} \cdot \overline{i}+n_{1} \cdot \overline{j}+p_{1} \cdot \overline{k}$ и $\overline{R_{2} }=m_{2} \cdot \overline{i}+n_{2} \cdot \overline{j}+p_{2} \cdot \overline{k}$. Косинус одного из углов между прямыми можно найти по формуле $\cos \phi =\frac{m_{1} \cdot m_{2} +n_{1} \cdot n_{2} +p_{1} \cdot p_{2} }{\sqrt{m_{1}^{2} +n_{1}^{2} +p_{1}^{2} } \cdot \sqrt{m_{2}^{2} +n_{2}^{2} +p_{2}^{2} } } $. Если $\cos \phi >0$, то получен острый угол между прямыми, если $\cos \phi
Итак, условие перпендикулярности двух прямых в пространстве имеет вид: $m_{1} \cdot m_{2} +n_{1} \cdot n_{2} +p_{1} \cdot p_{2} =0$.
Перпендикулярность прямой и плоскости
Пусть плоскость $P$ задана общим уравнением $A\cdot x+B\cdot y+C\cdot z+D=0$, а прямая $L$ задана параметрическими уравнениями $x=x_{0} +m\cdot t$, $y=y_{0} +n\cdot t$, $z=z_{0} +p\cdot t$.
Углом между прямой $L$ и плоскостью $P$ будем называть любой угол из двух смежных острого и тупого углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость. Если величина какого-то одного из них $\phi $, то величина второго $\pi -\phi $.
Вместо угла $\phi $ между прямой $L$ и плоскостью $P$ рассмотрим угол $\theta $ между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости, то есть угол между векторами $\overline{R}=m\cdot \overline{i}+n\cdot \overline{j}+p\cdot \overline{k}$ и $\overline{N}=A\cdot \overline{i}+B\cdot \overline{j}+C\cdot \overline{k}$. Этот угол тоже может быть одним из двух смежных острого и тупого углов: $\theta $ или $\pi -\theta $. Между углами $\phi $ и $\theta $ существует связь, а именно: если угол $\theta $ острый, то $\phi =\frac{\pi }{2} -\theta $ (острый) или $\phi =\frac{\pi }{2} +\theta $ (тупой); если угол $\theta $ тупой, то $\phi =\theta -\frac{\pi }{2} $ (острый) или $\phi =\frac{3\cdot \pi }{2} -\theta $ (тупой).
Косинус угла $\theta $ можно найти по формуле $\cos \theta =\frac{A\cdot m+B\cdot n+C\cdot p}{\sqrt{A^{2} +B^{2} +C^{2} } \cdot \sqrt{m^{2} +n^{2} +p^{2} } } $. После этого нужно вычислить угол $0
Условие перпендикулярности прямой и плоскости совпадает с условием коллинеарности нормального вектора плоскости и направляющего вектора прямой, то есть $\frac{A}{m} =\frac{B}{n} =\frac{C}{p} $.
Требуется найти проекцию заданной точки $M_{0} \left(x_{0} ,y_{0} ,z_{0} \right)$ на заданную плоскость $A\cdot x+B\cdot y+C\cdot z+D=0$.
Пусть точка $M_{0} $ проецируется на плоскость в точку $P\left(x,y,z\right)$. Построим вектор $\overline{M_{0} P}=\left(x-x_{0} \right)\cdot \overline{i}+\left(y-y_{0} \right)\cdot \overline{j}+\left(z-z_{0} \right)\cdot \overline{k}$. Этот вектор коллинеарен нормальному вектору плоскости $\overline{N}=A\cdot \overline{i}+B\cdot \overline{j}+C\cdot \overline{k}$. Применяем условие коллинеарности векторов: $\frac{x-x_{0} }{A} =\frac{y-y_{0} }{B} =\frac{z-z_{0} }{C} $. Эти два уравнения вместе с уравнением плоскости $A\cdot x+B\cdot y+C\cdot z+D=0$ образуют систему трех уравнений с тремя неизвестными $x$, $y$ и $z$. Решив ее, найдем координаты точки $P$.
Найти отклонение и расстояние заданной точки $M_{0} \left(x_{0} ,y_{0} ,z_{0} \right)$ от заданной плоскости $x\cdot \cos \alpha +y\cdot \cos \beta +z\cdot \cos \gamma -p=0$.
Отклонение точки $M_{0} $ от плоскости есть результат подстановки ее координат в нормальное уравнение плоскости: $\delta =x_{0} \cdot \cos \alpha +y_{0} \cdot \cos \beta +z_{0} \cdot \cos \gamma -p$. Если точка $M_{0} $ и начало координат расположены по разные стороны от плоскости, то $\delta >0$, а если по одну сторону, то $\delta
Найдем координаты точки пересечения плоскости $P$ и прямой $L$.
Для этого подставим параметрические уравнения прямой в общее уравнение плоскости:
\[A\cdot \left(x_{0} +m\cdot t\right)+B\cdot \left(y_{0} +n\cdot t\right)+C\cdot \left(z_{0} +p\cdot t\right)+D=0,\] \[t\cdot \left(A\cdot m+B\cdot n+C\cdot p\right)+A\cdot x_{0} +B\cdot y_{0} +C\cdot z_{0} +D=0.\]Отсюда получаем формулу: $t=-\frac{A\cdot x_{0} +B\cdot y_{0} +C\cdot z_{0} +D}{A\cdot m+B\cdot n+C\cdot p} $.
При вычислении $t$ возможные три случая:
- Знаменатель не равняется нулю: $A\cdot m+B\cdot n+C\cdot p\ne 0$. Тогда параметр $t$ имеет единственное значение, которое нужно подставить в параметрические уравнения прямой $L$. При этом будут получены координаты нужной точки сечения.
- Знаменатель равняется нулю $A\cdot m+B\cdot n+C\cdot p=0$, но числитель нулю не равняется $A\cdot x_{0} +B\cdot y_{0} +C\cdot z_{0} +D\ne 0$. Тогда решение поставленной задачи отсутствует, поскольку прямая $L$ плоскость $P$ не пересекает. Это бывает тогда, когда прямая параллельна плоскости.
- Знаменатель равняется нулю $A\cdot m+B\cdot n+C\cdot p=0$, и числитель также равняется нулю $A\cdot x_{0} +B\cdot y_{0} +C\cdot z_{0} +D=0$. Тогда поставленная задача имеет множество решений. Это бывает тогда, когда прямая $L$ принадлежит плоскости $P$.
Через заданную точку $M_{0} \left(x_{0} ,y_{0} ,z_{0} \right)$ требуется провести плоскость перпендикулярно заданному вектору $\overline{N}=A\cdot \overline{i}+B\cdot \overline{j}+C\cdot \overline{k}$.
Запишем общее уравнение нужной плоскости в виде $A\cdot x+B\cdot y+C\cdot z+D=0$. Его коэффициенты совпадают с координатами вектора $\overline{N}$. Эта плоскость должна пройти через заданную точку $M_{0} $, поэтому $A\cdot \left(x-x_{0} \right)+B\cdot \left(y-y_{0} \right)+C\cdot \left(z-z_{0} \right)=0$ -- уравнение нужной плоскости.
