Прежде чем познакомится с понятием натурального логарифма, рассмотрим понятие постоянного числа е.
Число e
Число e – это математическое постоянное, которое является трансцендентным числом и равно e≈2,718281828459045….
Трансцендентным называется число, которое не является корнем полинома с целыми коэффициентами.
Число e является пределом выражения (1+1k)k при k, которое стремится к бесконечности:
e=lim
Последней формулой описывается второй замечательный предел.
Число е также носит название числа Эйлера, а иногда и числа Непера.
Чтобы запомнить первые знаки числа е зачастую пользуются следующим выражением: «2, 7, дважды Лев Толстой». Конечно же, для того, чтобы можно было его использовать, необходимо помнить, что Лев Толстой родился в 1828 г. Именно эти числа дважды повторяются в значении числа е после целой части 2 и десятичной 7.
Рассмотрение понятия числа е при изучении натурального логарифма мы начали именно потому, что оно стоит в основании логарифма \log_{e}a, который принято называть натуральным и записывать в виде \ln a.
Натуральный логарифм
Часто при расчетах используют логарифмы, в основании которых стоит число е.
Логарифм с основанием е называют натуральным.
Т.е. натуральный логарифм можно обозначить как \log_{e}a, но в математике принято использовать обозначение \ln a.
Свойства натурального логарифма
-
Т.к. логарифм по любому основанию от единицы равен 0, то и натуральный логарифм единицы равен 0:
\ln 1=0.
-
Натуральный логарифм от числа е равен единице:
\ln e=1.
-
Натуральный логарифм произведения двух чисел равен сумме натуральных логарифмов от этих чисел:
\ln (ab)=\ln a+\ln b.
-
Натуральный логарифм частного двух чисел равен разнице натуральных логарифмов этих чисел:
\ln\frac{a}{b}=\ln a-\ln b.
-
Натуральный логарифм степени числа может быть представлен в виде произведения показателя степени на натуральный логарифм подлогарифмического числа:
\ln a^s=s \cdot \ln a.
Упростить выражение \frac{2 \ln 4e-\ln 16}{\ln 5e-\frac{1}{2} \ln 25}.
Решение.
Применим к первому логарифму в числителе и в знаменателе свойство логарифма произведения, а ко второму логарифму числителя и знаменателя – свойство логарифма степени:
\frac{2 \ln 4e-\ln16}{\ln 5e-\frac{1}{2} \ln 25}=\frac{2(\ln 4+\ln e )-\ln 4^2}{\ln 5+\ln e-\frac{1}{2} \ln 5^2}=
откроем скобки и приведем подобные слагаемые, а также применим свойство \ln e=1:
=\frac{2 \ln 4+2-2 \ln 4}{\ln 5+1-\frac{1}{2} \cdot 2 \ln 5}=\frac{2}{\ln 5+1-\ln 5}=2.
Ответ: \frac{2 \ln 4e-\ln 16}{\ln 5e-\frac{1}{2} \ln 25}=2.
Найти значение выражения \ln 2e^2+\ln \frac{1}{2e}.
Решение.
Применим формулу суммы логарифмов:
\ln 2e^2+\ln \frac{1}{2e}=\ln 2e^2 \cdot \frac{1}{2e}=\ln e=1.
Ответ: \ln 2e^2+\ln \frac{1}{2e}=1.
Вычислить значение логарифмического выражения 2 \lg 0,1+3 \ln e^5.
Решение.
Применим свойство логарифма степени:
2 \lg 0,1+3 \ln e^5=2 \lg 10^{-1}+3 \cdot 5 \ln e=-2 \lg 10+15 \ln e=-2+15=13.
Ответ: 2 \lg 0,1+3 \ln e^5=13.
Упростить логарифмическое выражение \ln \frac{1}{8}-3 \ln 4.
Решение.
Применим свойство логарифма степени:
\ln \frac{1}{8}-3 \ln 4=\ln 2^{-3}-3 \ln 2^2=-3 \ln2-3 \cdot 2 \ln 2=-9 \ln 2.
Ответ: \ln \frac{1}{8}-3 \ln 4=-9 \ln 2.
Упростить логарифмическое выражение \ln \frac{e^4}{25}.
Решение.
Применим свойство логарифма частного:
\ln \frac{e^4}{25}=\ln e^4-\ln 25=
во втором логарифме подлогарифмическое выражение запишем как число в степени:
=\ln e^4-\ln 5^2=
применим свойство логарифма степени к первому и второму логарифму:
=4 \ln e-2 \ln 5=
применив свойство \ln e=1, получим:
=4-2 \ln 5.
Ответ: \ln \frac{e^4}{25}=4-2 \ln 5.
Вычислить значение логарифмического выражения 3 \ln \frac{9}{e^2}-2 \ln 27.
Решение.
Применим к обоим логарифмам свойство логарифма степени:
3 \ln \frac{9}{e^2}-2 \ln 27=3 \ln (\frac{3}{e})^2-2 \ln 3^3=3 \cdot 2 \ln \frac{3}{e}-2 \cdot 3 \ln 3=6 \ln \frac{3}{e}-6 \ln 3=
применим к первому логарифму свойство логарифма частного:
=6(\ln 3-\ln e)-6 \ln 3=
откроем скобки и приведем подобные слагаемые:
=6 \ln 3-6 \ln e-6 \ln 3=-6.
Ответ: 3 \ln \frac{9}{e^2}-2 \ln 27=-6.
