Вписанная окружность
Если все стороны многоугольника являются касательными одной окружности, то такая окружность называется вписанной в многоугольник (рис 1).
Многоугольник, удовлетворяющий условию определения 1, называется описанным около окружности.
Рисунок 1. Вписанная окружность
Теорема 1 (об окружности, вписанной в треугольник)
В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну.
Доказательство.
Рассмотрим треугольник ABC. Проведем в нем биссектрисы, которые пересекаются в точке O и проведем из нее перпендикуляры на стороны треугольника (Рис. 2)
Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1
Существование: Проведем окружность с центром в точке O и радиусом OK. Так как точка O лежит на трех биссектрисах, то она равноудалена от сторон треугольника ABC. То есть OM=OK=OL. Следовательно, построенная окружность также проходит через точки M и L. Так как OM,OK и OL - перпендикуляры к сторонам треугольника, то по теореме о касательной к окружности, построенная окружность касается всех трех сторон треугольника. Следовательно, в силу произвольности треугольника, в любой треугольник можно вписать окружность.
Единственность: Предположим, что в треугольник ABC можно вписать еще одну окружность с центром в точке O′. Её центр равноудален от сторон треугольника, а, следовательно, совпадает с точкой O и имеет радиус, равный длине OK. Но тогда эта окружность совпадет с первой.
Теорема доказана.
Следствие 1: Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения его биссектрис.
Приведем еще несколько фактов, связанных с понятием вписанной окружности:
-
Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
-
В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.
-
Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.
Описанная окружность
Если на окружности лежат все вершины многоугольника, то окружность называется описанной около многоугольника (Рис. 3).
Многоугольник, удовлетворяющий условию определения 2, называется вписанным в окружность.
Рисунок 3. Описанная окружность
Теорема 2 (об окружности, описанной около треугольника)
Около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну.
Доказательство.
Рассмотрим треугольник ABC. Проведем в нем серединные перпендикуляры, пересекающиеся в точке O, и соединим ее с вершинами треугольника (рис. 4)
Рисунок 4. Иллюстрация теоремы 2
Существование: Построим окружность с центром в точке O и радиусом OC. Точка O равноудалена от вершин треугольника, то есть OA=OB=OC. Следовательно, построенная окружность проходит через все вершины данного треугольника, значит, она является описанной около этого треугольника.
Единственность: Предположим, что около треугольника ABC можно описать еще одну окружность с центром в точке O′. Её центр равноудален от вершин треугольника, а, следовательно, совпадает с точкой O и имеет радиус, равный длине OC. Но тогда эта окружность совпадет с первой.
Теорема доказана.
Следствие 1: Центр описанной около треугольника окружности совпадает с точкой пересечения его серединных перпендикуляров.
Приведем еще несколько фактов, связанных с понятием описанной окружности:
-
Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.
-
В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 1800.
-
Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 1800, то около него можно описать окружность.
Пример задачи на понятия вписанной и описанной окружности
В равнобедренном треугольнике основание равно 8 см, боковая сторона равна 5 см. Найти радиус вписанной окружности.
Решение.
Рассмотрим треугольник ABC. По следствию 1, мы знаем, что центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Проведем биссектрисы AK и BM, которые пересекаются в точке O. Проведем перпендикуляр OH из точки O на сторону BC. Изобразим рисунок:
Рисунок 5.
Так как треугольник равнобедренный, то BM и медиана и высота. По теореме Пифагора BM2=BC2−MC2, BM=√BC2−AC24=√25−16=√9=3. OM=OH=r -- искомый радиус вписанной окружности. Так как MC и CH отрезки пересекающихся касательных, то по теореме о пересекающихся касательных, имеем CH=MC=4 см. Следовательно, BH=5−4=1 см. BO=3−r. Из треугольника OHB, по теореме Пифагора, получим:
(3−r)2=r2+1Ответ: 43.