Processing math: 100%
Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Вписанная и описанная окружности

Вписанная окружность

Определение 1

Если все стороны многоугольника являются касательными одной окружности, то такая окружность называется вписанной в многоугольник (рис 1).

Определение 2

Многоугольник, удовлетворяющий условию определения 1, называется описанным около окружности.

Вписанная окружность

Рисунок 1. Вписанная окружность

Теорема 1 (об окружности, вписанной в треугольник)

В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник ABC. Проведем в нем биссектрисы, которые пересекаются в точке O и проведем из нее перпендикуляры на стороны треугольника (Рис. 2)

Иллюстрация теоремы 1

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

Существование: Проведем окружность с центром в точке O и радиусом OK. Так как точка O лежит на трех биссектрисах, то она равноудалена от сторон треугольника ABC. То есть OM=OK=OL. Следовательно, построенная окружность также проходит через точки M и L. Так как OM,OK и OL - перпендикуляры к сторонам треугольника, то по теореме о касательной к окружности, построенная окружность касается всех трех сторон треугольника. Следовательно, в силу произвольности треугольника, в любой треугольник можно вписать окружность.

«Вписанная и описанная окружности» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти

Единственность: Предположим, что в треугольник ABC можно вписать еще одну окружность с центром в точке O. Её центр равноудален от сторон треугольника, а, следовательно, совпадает с точкой O и имеет радиус, равный длине OK. Но тогда эта окружность совпадет с первой.

Теорема доказана.

Следствие 1: Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения его биссектрис.

Приведем еще несколько фактов, связанных с понятием вписанной окружности:

  1. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.

  2. В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

  3. Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Описанная окружность

Определение 3

Если на окружности лежат все вершины многоугольника, то окружность называется описанной около многоугольника (Рис. 3).

Определение 4

Многоугольник, удовлетворяющий условию определения 2, называется вписанным в окружность.

Описанная окружность

Рисунок 3. Описанная окружность

Теорема 2 (об окружности, описанной около треугольника)

Теорема 2

Около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник ABC. Проведем в нем серединные перпендикуляры, пересекающиеся в точке O, и соединим ее с вершинами треугольника (рис. 4)

Иллюстрация теоремы 2

Рисунок 4. Иллюстрация теоремы 2

Существование: Построим окружность с центром в точке O и радиусом OC. Точка O равноудалена от вершин треугольника, то есть OA=OB=OC. Следовательно, построенная окружность проходит через все вершины данного треугольника, значит, она является описанной около этого треугольника.

Единственность: Предположим, что около треугольника ABC можно описать еще одну окружность с центром в точке O. Её центр равноудален от вершин треугольника, а, следовательно, совпадает с точкой O и имеет радиус, равный длине OC. Но тогда эта окружность совпадет с первой.

Теорема доказана.

Следствие 1: Центр описанной около треугольника окружности совпадает с точкой пересечения его серединных перпендикуляров.

Приведем еще несколько фактов, связанных с понятием описанной окружности:

  1. Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

  2. В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 1800.

  3. Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 1800, то около него можно описать окружность.

Пример задачи на понятия вписанной и описанной окружности

Пример 1

В равнобедренном треугольнике основание равно 8 см, боковая сторона равна 5 см. Найти радиус вписанной окружности.

Решение.

Рассмотрим треугольник ABC. По следствию 1, мы знаем, что центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Проведем биссектрисы AK и BM, которые пересекаются в точке O. Проведем перпендикуляр OH из точки O на сторону BC. Изобразим рисунок:



Рисунок 5.

Так как треугольник равнобедренный, то BM и медиана и высота. По теореме Пифагора BM2=BC2MC2, BM=BC2AC24=2516=9=3. OM=OH=r -- искомый радиус вписанной окружности. Так как MC и CH отрезки пересекающихся касательных, то по теореме о пересекающихся касательных, имеем CH=MC=4 см. Следовательно, BH=54=1 см. BO=3r. Из треугольника OHB, по теореме Пифагора, получим:

(3r)2=r2+1
96r+r2=r2+1
6r=8
r=43

Ответ: 43.

Дата последнего обновления статьи: 29.03.2024
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Вписанная и описанная окружности"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant