Максимум и минимум функции

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Одним из этапов исследования функции является нахождение экстремумов заданной функции, другими словами, максимума и минимума функции.

Определение 1

Некоторая точка называется точкой минимума заданной функции $y=f(x)$ , если для всех точек из некоторой окрестности данной точки справедливо неравенство $f(x)\ge f(x_{0} )$ , $x_{0}$ - точка минимума.

Определение 2

Некоторая точка называется точкой максимума заданной функции $y=f(x)$ , если для всех точек из некоторой окрестности данной точки справедливо неравенство $f(x)\le f(x_{0} )$ , $x_{0}$ - точка максимума.

Точки экстремума показаны на рис.

Рисунок 1.

Пример 1

Функция вида $y=ax^{2} +bx+c$ (парабола) имеет на области определения:

минимум, если $a>0$ ;
максимум, если $a

Экстремум параболы, рассматриваемой на всей области определения, совпадает с ее вершиной (рис.).

Рисунок 2.

Значения заданной функции в точках минимума и максимума называются соответственно минимумом и максимумом заданной функции.

Экстремумы функции делятся на:

локальный экстремум;
глобальный экстремум.

Определения 1 и 2 относятся к локальным экстремумам: локальный минимум и локальный максимум.

Наименьшее и наибольшее значения заданной функции на некотором промежутке являются глобальными экстремумами.

Примечание 1

Глобальные экстремумы могут достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.

Необходимое условие экстремума определяется следующей теоремой.

«Максимум и минимум функции» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Помощь с рефератом от нейросети

Написать ИИ

Теорема 1

Если заданная функция $y=f(x)$ имеет экстремум в некоторой точке $x_{0}$ , то ее производная $f'(x)$ в данной точке либо равна нулю, либо не существует.

Достаточные условия экстремума определяются следующими теоремами.

Теорема 2

Первое условие.

Пусть для заданной функции $y=f(x)$ выполнены условия:

данная функция $y=f(x)$ непрерывна в окрестности точки $x_{0}$ ;
$f'(x)$ при $x=x_{0}$ равна нулю или $f'(x)$ не существует;
производная $f'(x)$ при переходе через данную точку $x_{0}$ меняет знак.

Тогда в точке $x=x_{0}$ заданная функция $y=f(x)$ имеет экстремум, причем он является минимумом, если при переходе через точку $x_{0}$ производная меняет знак с «-» на «+»; является минимумом, если при переходе через точку $x_{0}$ производная меняет знак с «+» на «-».

Теорема 3

Второе условие.

Пусть для заданной функции $y=f(x)$ выполнены условия:

данная функция $y=f(x)$ непрерывна в окрестности точки $x_{0}$ ;
$f'(x)$ при $x=x_{0}$ равна нулю;
$f''(x)$ при $x=x_{0}$ не равна нулю.

Тогда в точке $x=x_{0}$ заданная функция $y=f(x)$ имеет экстремум, причем, если $f''(x)>0$ при $x=x_{0}$ , то в данной точке заданная функция $y=f(x)$ имеет минимум; если $f''(x)

Примечание 2

Если $f'(x)$ при переходе через точку $x_{0}$ не меняет свой знак, то в данной точке экстремума нет.

Алгоритм исследования заданной функции на экстремум включает следующие этапы:

нахождение производной $f'(x)$ ;
нахождение критических и стационарных точек, т.е. точек, в которых производная не существует или равна нулю;
исследовать знак $f'(x)$ на промежутках с помощью числовой прямой;
определение экстремумов;
нахождение значения заданной функции в точках экстремума.