Шар

С понятием шара очень тесно связано понятие сферы, поэтому, вначале мы разберемся с этим понятием.

Понятие сферы

Уравнение сферы

Выведем уравнение сферы в системе координат с тремя измерениями. Пусть центр сферы $C$ имеет координаты $(x_0,y_0,z_0)$, а радиус сферы равен $R$. Пусть точка $M$ с координатами $(x,y,z)$ -- произвольная точка этой сферы (рис. 2).

Рисунок 2.

Расстояние от центра сферы до точки $M$ вычисляется следующим образом

Но, так как $M$ лежит на окружности, то по определению 3, получаем $CM=R$. Тогда получим следующее

Уравнение (1) -- искомое нами уравнение.

Также можно выделить частный случай для уравнения сферы. Если центр сферы лежит вначале координат, то она имеет следующий вид уравнения:

Площадь сферы

Приведем формулу площади сферы, не вдаваясь в её вывод.

Площадь сферы определяется следующей формулой:

Шар

Выведем формулу объема шара.

Доказательство.

Пусть нам дан шар с радиусом, равным $R$. Проведем через центр сферы произвольно ось $Ox$ (рис. 3).

Рисунок 3.

Проведем через произвольную точку $O_1$ сечение, перпендикулярное оси $Ox.$ Данное сечение является окружностью. Обозначим ее радиус через $r$. Так как точка выбрана произвольно, то площадь окружности можно считать функцией от абсциссы $x$. Обозначим её через $S(x)$. Нам известно, что $S\left(x\right)=\pi r^2$. По теореме Пифагора, получим

То есть

Эта формула верна при всех $--R\le x\le R$

Вычисляя объем с помощью определенного интеграла, получим

Теорема доказана.

Пример задачи