Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Конус

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Конус

Понятие конуса

Определение 1

Геометрическая фигура, образованная кругом и точкой, не лежащей в плоскости, содержащей этот круг, соединенной с каждой точкой окружности, ограничивающей этот круг, называется пирамидой (рис. 1).

Конус

Рисунок 1. Конус

Круг, из которого составлен конус, называется основанием конуса, точка, не лежащая в плоскости основания -- вершиной конуса, прямые, соединяющие точку с основанием -- образующими конуса, а совокупность всех образующих -- боковой поверхностью конуса.

Площадь поверхности конуса

Площадь поверхности цилиндра определяется следующим образом:

Найдем теперь формулы для вычисления площадь боковой поверхности и основания.

Так как в основании лежит круг, то очевидно, что

Теорема 1

Площадь боковой поверхности конуса определяется как половина произведения длины окружности, ограничивающей основание конуса на его образующую.

Доказательство.

Пусть нам дан конус с вершиной в точке $S$, радиусом основания, равным $R$ и образующей $l$. Для доказательства этой теоремы нам необходимо найти площадь развертки боковой поверхности цилиндра (рис. 2).



Рисунок 2.

Видим, что разверткой боковой поверхности цилиндра круговой сектор. Обозначим угол при вершине через $\alpha $. Как мы знаем, площадь кругового сектора равняется

Длина дуги кругового сектора равняется $2\pi R$, следовательно

Значит

Теорема доказана.

Усеченный конус

Определение 2

Если через обычный конус провести плоскость, параллельную её основанию, то фигура, образованная между этой плоскостью и плоскостью основания называется усеченным конусом (рис. 3).

Усеченный конус

Рисунок 3. Усеченный конус

Теорема 2

Площадь боковой поверхности усеченного конуса определяется как произведение полусуммы длин окружностей, ограничивающих основания на образующую.

Доказательство.

Обозначим радиусы оснований усеченного конуса через $r\ и\ r'$ соответственно, а апофему через $l$ (рис. 4).



Рисунок 4.

Площадь боковой поверхности полного конуса по теореме 1

Площадь боковой поверхности отсеченного конуса по теореме 1

То есть

Из подобия прямоугольных треугольников, получим

То есть

Теорема доказана.

Пример задачи

Пример 1

Найти площадь полной поверхности конуса, если радиус его основания равняется $7$ см, образующая в два раза больше диаметра основания.

Решение.

Найдем вначале образующую. Так как образующая в два раза больше диаметра, получим

\[l=2\cdot 2r=4r=28\ см\]

Как мы знаем

\[S_{осн}=\pi r^2=49\pi \]

По теореме 1

\[S_{бок}=\pi rl=196\pi \]

Тогда

\[S_{полн}=S_{бок}+S_{осн}=196\pi +49\pi =245\pi \]

Ответ: $245\pi $