Формула Грина

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Формула Грина связывает двойной интеграл по области D с криволинейным интегралом по замкнутому контуру L, что ограничивает область D. Контур, в каком начальная и конечная точки совпадают, называется замкнутым. Контур, считается, положительно ориентирован, если при его обходе область, ограниченная этим контуром, остается слева. Криволинейный интеграл по положительно ориентированному контуру L обозначается так:

Теорема 1

Пускай квадрируемая область D ограничена кривой L, которая является контуром первого и второго рода и пускай функции $P\left(x,y\right)\$ и $Q\left(x,y\right)$ и их частные производные $\frac{\partial P}{\partial y}$ и $\frac{\partial Q}{\partial x}$ непрерывны в замкнутой области D. Тогда криволинейный интеграл можно переписать:

$\oint\limits_L{P\left(x,y\right)dx+Q\left(x,y\right)dy}=\iint\limits_D{\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy}.$

Данная теорема записана для универсальной области, это значит, что любая прямая, которая параллельна координатным осям пересекает область не более чем в двух точках.

Можно записать формулу для более сложной области (рисунок 1).

Контур со сложной областью

Рисунок 1. Контур со сложной областью

Для этой области формула Грина перепишится в виде:

$\oint\limits_L{P\left(x,y\right)dx+Q\left(x,y\right)dy}=\iint\limits_{D_1}{\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy}++\iint\limits_{D_2}{\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy}+\iint\limits_{D_3}{\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy}.$

С помощью формулы Грина можно найти формулу для определения площади плоской фигуры через криволинейный интеграл.

Положим $Q\left(x,y\right)=x$ , $P\left(x,y\right)=0$ , отсюда можно найти частные производные:

$\frac{\partial Q}{\partial x}=1,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{\partial P}{\partial y}=0.$

Подставив частные производные в формулу получим:

$\iint\limits_D{dxdy}=\oint\limits_L{xdy}=S_D.$

Если $Q\left(x,y\right)=0$ , $P\left(x,y\right)=-y$ , то получим следующие частные производные:

$\frac{\partial Q}{\partial x}=0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{\partial P}{\partial y}=-1.$

Поэтому получим:

$\iint\limits_D{dxdy}=-\oint\limits_L{ydx}=S_D.$

Суммируя две полученных уравнения, получим формулу площади:

$S_D=\frac{1}{2}\oint\limits_L{xdy}-ydx.$

«Формула Грина» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Помощь с рефератом от нейросети

Написать ИИ

Пример

Найти площадь эллипса $x=acos\ t$ , $y=bsin\ t$ .

Для решения это задачи воспользуемся формула которую мы вывели для нахождения площади плоской фигуры:

$S_D=\frac{1}{2}\oint\limits_L{xdy}-ydx.$

Найдем производные наших функций:

$dx=-asin\ t$

$dy=bcos\ t$

Подставим эти значения в формулу:

$S=\frac{1}{2}\oint\limits_L{\left({a\ cos t\cdot b{cos t+b{sin t\cdot {a\ sin t\ } \ }\ }\ }\right)}dt.$

Значение $t$ изменяется в пределах:

$0\le t\le 2\pi$

Подставим пределы интегрирования в формулу:

$S=\frac{1}{2}\int\limits^{2\pi }_0{\left({a\ cos t\cdot b{cos t+b{sin t\cdot {a\ sin t\ }\ }\ }\ }\right)}dt=\frac{ab}{2}\int\limits^{2\pi }_0{\left({\ {cos}^2 t\ \ }+{s{in}^2 t\ }\right)}dt=\frac{ab}{2}\int\limits^{2\pi }_0{1}dt=\frac{ab}{2}\cdot {\left.t\right|}^{2\pi }_0=\frac{ab}{2}\cdot 2\pi =\pi ab.$

Площадь равняется $S=\pi ab$ .

Пример 2

Пользуясь формулой Грина найти:

$I=\oint\limits_L{\left(x^5-2x\right)}dx+\left(3x+y^8\right)dy,$ где $L$ -- круг $x^2+y^2=r^2$ .

Запишем функции $P\left(x,y\right)=x^5-2x\$ и $Q\left(x,y\right)$ = $3x+y^8$ и найдем их частные производные:

$\frac{\partial Q}{\partial x}=3,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{\partial P}{\partial y}=-2.$

Легко увидеть, что частные производные непрерывны в замкнутом контуре $x^2+y^2=r^2$ . В связи с этим можно воспользоваться формулой Грина:

$\oint\limits_L{P\left(x,y\right)dx+Q\left(x,y\right)dy}=\iint\limits_D{\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy.}$

Подставим в эту формулу частные производные наших функций: