Формула Грина связывает двойной интеграл по области D с криволинейным интегралом по замкнутому контуру L, что ограничивает область D. Контур, в каком начальная и конечная точки совпадают, называется замкнутым. Контур, считается, положительно ориентирован, если при его обходе область, ограниченная этим контуром, остается слева. Криволинейный интеграл по положительно ориентированному контуру L обозначается так:
Пускай квадрируемая область D ограничена кривой L, которая является контуром первого и второго рода и пускай функции $P\left(x,y\right)\ $и $Q\left(x,y\right)$ и их частные производные $\frac{\partial P}{\partial y}$ и $\frac{\partial Q}{\partial x}$ непрерывны в замкнутой области D. Тогда криволинейный интеграл можно переписать:
\[\oint\limits_L{P\left(x,y\right)dx+Q\left(x,y\right)dy}=\iint\limits_D{\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy}.\]Данная теорема записана для универсальной области, это значит, что любая прямая, которая параллельна координатным осям пересекает область не более чем в двух точках.
Можно записать формулу для более сложной области (рисунок 1).
Рисунок 1. Контур со сложной областью
Для этой области формула Грина перепишится в виде:
\[\oint\limits_L{P\left(x,y\right)dx+Q\left(x,y\right)dy}=\iint\limits_{D_1}{\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy}++\iint\limits_{D_2}{\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy}+\iint\limits_{D_3}{\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy}.\]С помощью формулы Грина можно найти формулу для определения площади плоской фигуры через криволинейный интеграл.
Положим $Q\left(x,y\right)=x$, $P\left(x,y\right)=0$, отсюда можно найти частные производные:
\[\frac{\partial Q}{\partial x}=1,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{\partial P}{\partial y}=0.\]Подставив частные производные в формулу получим:
\[\iint\limits_D{dxdy}=\oint\limits_L{xdy}=S_D.\]Если $Q\left(x,y\right)=0$, $P\left(x,y\right)=-y$, то получим следующие частные производные:
$\frac{\partial Q}{\partial x}=0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{\partial P}{\partial y}=-1.$
Поэтому получим:
\[\iint\limits_D{dxdy}=-\oint\limits_L{ydx}=S_D.\]Суммируя две полученных уравнения, получим формулу площади:
\[S_D=\frac{1}{2}\oint\limits_L{xdy}-ydx.\]Найти площадь эллипса $x=acos\ t$, $y=bsin\ t$.
Для решения это задачи воспользуемся формула которую мы вывели для нахождения площади плоской фигуры:
\[S_D=\frac{1}{2}\oint\limits_L{xdy}-ydx.\]Найдем производные наших функций:
\[dx=-asin\ t\] \[dy=bcos\ t\]Подставим эти значения в формулу:
\[S=\frac{1}{2}\oint\limits_L{\left({a\ cos t\cdot b{cos t+b{sin t\cdot {a\ sin t\ } \ }\ }\ }\right)}dt.\]Значение $t$ изменяется в пределах:
\[0\le t\le 2\pi \]Подставим пределы интегрирования в формулу:
\[S=\frac{1}{2}\int\limits^{2\pi }_0{\left({a\ cos t\cdot b{cos t+b{sin t\cdot {a\ sin t\ }\ }\ }\ }\right)}dt=\frac{ab}{2}\int\limits^{2\pi }_0{\left({\ {cos}^2 t\ \ }+{s{in}^2 t\ }\right)}dt=\frac{ab}{2}\int\limits^{2\pi }_0{1}dt=\frac{ab}{2}\cdot {\left.t\right|}^{2\pi }_0=\frac{ab}{2}\cdot 2\pi =\pi ab.\]Площадь равняется $S=\pi ab$.
Пользуясь формулой Грина найти:
$I=\oint\limits_L{\left(x^5-2x\right)}dx+\left(3x+y^8\right)dy,$где $L$ -- круг $x^2+y^2=r^2$.
Запишем функции $P\left(x,y\right)=x^5-2x\ $ и $Q\left(x,y\right)$=$3x+y^8$ и найдем их частные производные:
\[\frac{\partial Q}{\partial x}=3,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{\partial P}{\partial y}=-2.\]Легко увидеть, что частные производные непрерывны в замкнутом контуре $x^2+y^2=r^2$. В связи с этим можно воспользоваться формулой Грина:
\[\oint\limits_L{P\left(x,y\right)dx+Q\left(x,y\right)dy}=\iint\limits_D{\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy.}\]Подставим в эту формулу частные производные наших функций:
\[I=\oint\limits_L{\left(x^5-2x\right)}dx+\left(3x+y^8\right)dy=\iint\limits_D{\left(3-(-2)\right)dxdy=\iint\limits_D{5dxdy}}\]Зная формулу площади круга $S=\pi r^2$, тогда:
\[\iint\limits_D{dxdy}=\pi r^2.\]Подставим это значение вместо нашего интеграла, и получим:
\[I=\iint\limits_D{5dxdy}=5\pi r^2.\]
