Деление комплексных чисел

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Деление на число и деление заданных комплексных чисел выполняются для чисел, представленных в любой форме записи.

Определение 1

Делением заданного комплексного числа $z=a+b\cdot i$ на некоторое действительное число $k\ne 0$ является комплексное число, которое определяется равенством $\frac{z}{k} =\frac{a+b\cdot i}{k} =\frac{a}{k} +\frac{b}{k} \cdot i.$

Пример 1

Выполнить деление заданных комплексных чисел на число $k=\sqrt{3}$ :

1) $z_{1} =\sqrt{3} +\sqrt{3} \cdot i$ ; 2) $z_{2} =5-4\cdot i$ ; 3) $z_{3} =\sqrt{3} \cdot i$ .

Решение:

Для деления заданных комплексных чисел на действительное число воспользуемся определением и получим:

1) $\frac{z_{1} }{k} =\frac{z_{1} }{\sqrt{3} } =\frac{\sqrt{3} +\sqrt{3} \cdot i}{\sqrt{3} } =\frac{\sqrt{3} }{\sqrt{3} } +\frac{\sqrt{3} }{\sqrt{3} } \cdot i=1+1\cdot i$ ;

2) $\frac{z_{2} }{k} =\frac{z_{2} }{\sqrt{3} } =\frac{5-4\cdot i}{\sqrt{3} } =\frac{5}{\sqrt{3} } -\frac{4}{\sqrt{3} } \cdot i$ ;

3) $\frac{z_{3} }{k} =\frac{z_{3} }{\sqrt{3} } =\frac{0+\sqrt{3} \cdot i}{\sqrt{3} } =\frac{0}{\sqrt{3} } +\frac{\sqrt{3} }{\sqrt{3} } \cdot i=0+1\cdot i=i$ .

Примечание 1

При делении заданного комплексного числа $z=a+b\cdot i$ на действительное число $k\, \, (|k|>1)$ модуль этого числа уменьшается в $|k|$ раз:

$\left|\frac{z}{k} \right|=\frac{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }{|k|} .$

Примечание 2

При умножении заданного комплексного числа $z=a+b\cdot i$ на действительное число $k\, \, (|k|

$\left|\frac{z}{k} \right|=\left|\frac{1}{k} \right|\cdot \sqrt{a^{2} +b^{2} } .$

Примечание 3

Графическая интерпретация операции деления заданного комплексного числа $z=a+b\cdot i$ на число $k\, \, (|k|>1)$ : длина радиус-вектора, изображающего исходное комплексное число, уменьшается в $|k|$ раз (радиус-вектор становится короче в $|k|$ раз).

«Деление комплексных чисел» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Примечание 4

Графическая интерпретация операции умножения заданного комплексного числа $z=a+b\cdot i$ на число $k\, \, (|k|

Иллюстрация примера деления заданного комплексного числа $z=a+b\cdot i$ на число $k_{1} =2,\, \, k_{2} =\frac{1}{4}$ с использованием комплексной плоскости приведена на рис.1-2.

Иллюстрация примера деления заданного комплексного числа

Рис. 1

Иллюстрация примера деления заданного комплексного числа

Рис. 2

Определение 2

Частным двух заданных комплексных чисел в тригонометрической форме представления $z_{1} =r_{1} \cdot (\cos \varphi _{1} +i\sin \varphi _{1} )$ и $z_{2} =r_{2} \cdot (\cos \varphi _{2} +i\sin \varphi _{2} )$ ( $r_{2} \ne 0$ ) является комплексное число, которое определяется равенством

$z_{1} \cdot z_{2} =\frac{r_{1} }{r_{2} } \cdot [\cos (\varphi _{1} -\varphi _{2} )+i\sin (\varphi _{1} -\varphi _{2} )].$

Пример 2

Выполнить деление заданных комплексных чисел:

1) $z_{1} =\sqrt{3} \cdot (\cos \frac{\pi }{4} +i\cdot \sin \frac{\pi }{4} )$ и $z_{2} =2\cdot (\cos \frac{2\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{2\pi }{3} )$ ; 2) $z_{1} =4\cdot (\cos \pi +i\cdot \sin \pi )$ и $z_{2} =5\cdot (\cos \frac{\pi }{2} +i\cdot \sin \frac{\pi }{2} )$ .

Решение:

Для деления заданных комплексных чисел воспользуемся определением и получим:

$\begin{array}{l} {\frac{z_{1} }{z_{2} } =\left(\sqrt{3} \cdot (\cos \frac{\pi }{4} +i\cdot \sin \frac{\pi }{4} )\right)\div \left(2\cdot (\cos \frac{2\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{2\pi }{3} )\right)=\frac{\sqrt{3} }{2} \cdot [\cos (\frac{\pi }{4} -\frac{2\pi }{3} )+i\cdot \sin (\frac{\pi }{4} -\frac{2\pi }{3} )]=} \\ {=\frac{\sqrt{3} }{2} \cdot (\cos \left(-\frac{5\pi }{12} \right)+i\cdot \sin \left(-\frac{5\pi }{12} \right))} \end{array}$ 2)

$\begin{array}{l} {\frac{z_{1} }{z_{2} } =\left(4\cdot (\cos \pi +i\cdot \sin \pi )\right)\div \left(5\cdot (\cos \frac{\pi }{2} +i\cdot \sin \frac{\pi }{2} )\right)=\frac{4}{5} \cdot [\cos (\pi -\frac{\pi }{2} )+i\cdot \sin (\pi -\frac{\pi }{2} )]=} \\ {=\frac{4}{5} \cdot (\cos \frac{\pi }{2} +i\cdot \sin \frac{\pi }{2} )} \end{array}$

Определение 3

Частным двух заданных комплексных чисел $z_{1} =a_{1} +b_{1} i$ и $z_{2} =a_{2} +b_{2} i$ ( $r_{2} =\sqrt{a_{2}^{2} +b_{2}^{2} } \ne 0)$ является комплексное число, которое определяется равенством

$\frac{z_{1} }{z_{2} } =\frac{a_{1} +b_{1} i}{a_{2} +b_{2} i} =\frac{a_{1} a_{2} +b_{1} b_{2} }{a_{2}^{2} +b_{2}^{2} } +\frac{a_{2} b_{1} -a_{1} b_{2} }{a_{2}^{2} +b_{2}^{2} } \cdot i.$

Равенство, указанное в определении 3, достаточно сложно для запоминания, поэтому на практике при делении заданных комплексных чисел, представленных в алгебраической форме, используют алгоритм, который описан в примечании 5.

Примечание 5

Чтобы выполнить операцию деления заданных комплексных чисел, представленных в алгебраической форме необходимо:

представить запись операции деления в виде дроби;
числитель дроби и знаменатель дроби умножить на число сопряженное знаменателю;
привести полученное выражение к алгебраической записи.

Пример 3

Выполнить деление комплексных чисел:

$z_{1} =3+i$ и

$z_{2} =2-i$ ; 2)

$z_{1} =3+2i$ и

$z_{2} =1+2i$ .

Решение:

Для деления комплексных чисел воспользуемся алгоритмом, приведенным в примечании 5, и получим:

$\frac{z_{1} }{z_{2} } =\frac{3+i}{2-i} =\frac{(3+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} =\frac{6+2i+3i+i^{2} }{2^{2} -i^{2} } =\frac{6+5i-1}{4+1} =\frac{5+5i}{5} =1+i$ 2)

$\frac{z_{1} }{z_{2} } =\frac{3+2i}{1+2i} =\frac{(3+2i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)} =\frac{3+2i-6i-4i^{2} }{1^{2} -2^{2} \cdot i^{2} } =\frac{3-5i+4}{1+4} =\frac{7-5i}{5} =\frac{7}{5} -1\cdot i=\frac{7}{5} -i$

Определение 4

Частным двух заданных комплексных чисел в показательной форме $z_{1} =r_{1} \cdot e^{i\varphi _{1} }$ и $z_{2} =r_{2} \cdot e^{i\varphi _{2} }$ является комплексное число, которое определяется равенством

$\frac{z_{1} }{z_{2} } =\frac{r_{1} \cdot e^{i\varphi _{1} } }{r_{2} \cdot e^{i\varphi _{2} } } =\frac{r_{1} }{r_{2} } \cdot e^{i(\varphi _{1} -\varphi _{2} )} .$

Пример 4

Выполнить деление комплексных чисел:

$z_{1} =\sqrt{3} \cdot e^{i\cdot \frac{\pi }{4} }$ и

$z_{2} =2\cdot e^{i\cdot \frac{\pi }{3} }$ ; 2)

$z_{1} =\sqrt{5} \cdot e^{i\cdot \frac{2\pi }{3} }$ и

$z_{2} =2\cdot e^{i\cdot \frac{\pi }{2} }$ .

Решение:

Для деления комплексных чисел воспользуемся определением и получим:

$\frac{z_{1} }{z_{2} } =\left(\sqrt{3} \cdot e^{i\cdot \frac{\pi }{4} } \right)\div \left(2\cdot e^{i\cdot \frac{\pi }{3} } \right)=\frac{\sqrt{3} }{2} \cdot e^{i\cdot (\frac{\pi }{4} -\frac{\pi }{3} )} =\frac{\sqrt{3} }{2} \cdot e^{i\cdot \left(-\frac{\pi }{12} \right)}$ 2)

$\frac{z_{1} }{z_{2} } =\left(\sqrt{5} \cdot e^{i\cdot \frac{2\pi }{3} } \right)\div \left(2\cdot e^{i\cdot \frac{\pi }{2} } \right)=\frac{\sqrt{5} }{2} \cdot e^{i\cdot (\frac{2\pi }{3} -\frac{\pi }{2} )} =\frac{\sqrt{5} }{2} \cdot e^{i\cdot \frac{\pi }{6} }$