Область допустимых значений (ОДЗ) - важное математическое понятие, которое нужно учитывать при решении выражений с переменными, поскольку на практике часто можно столкнуться с выражениями, значения которых вычислить невозможно (например, $1:a$ при $a=0$). Поэтому существует термин «выражение, имеющее смысл при заданных значениях переменных». Он означает, что при данных значениях переменных выражение можно вычислить. Напротив, выражение не имеет смысла, если на данном множестве переменных нельзя найти его значение.
Область допустимых значений - множество переменных, при которых выражение имеет смысл. Значения переменных, при которых выражение теряет смысл, называют недопустимыми.
Когда выражение содержит две, три, и большее число переменных, можно говорить о парах, тройках и т.п. допустимых значений. Рассмотрим, например, выражение
$\frac{1}{x - y + z}$
со значениями $x=0$, $y=1$, $z=2$. Здесь мы имеем дело с тройкой переменных, которую можно обозначить как $(0, 1, 2)$. Эта совокупность является допустимой, поскольку в данном случае можно найти значение выражения:
$\frac{1}{0 - 1 + 2} = 1$
Тройка же (1, 2, 1) недопустима, поскольку при подстановке значений в выражение в знаменателе окажется ноль.
Для выражения $\frac{6}{x - 4}$ ОДЗ можно выразить как $(−∞, 4)∪(4, +∞)$, т.е. объединение числовых открытых множеств от отрицательной бесконечности до $4$ и от $4$ до бесконечности. Иными словами, как множество всех действительных чисел за исключением числа $4$.
ОДЗ можно определить не только через множества, но и через уравнения и неравенства, например $\frac{z}{x - y}$, где ОДЗ $x \neq y$ при произвольном $z$.
Следует иметь в виду, что термины "ОДЗ" и "область определения" не совпадают по смыслу. Область определения относится к функциям, а область допустимых значений - к выражениям с переменными. Однако при этом справедливо утверждение: область допустимых значений переменной $x$ для выражения $f(x)$ совпадает с областью определения функции $y=f(x)$.
ОДЗ для элементарных выражений (умножение, деление, возведение в степень, логарифмы, тригонометрические операции) хорошо изучены. Так, выражение, стоящее под знаком корня чётной степени (например, квадратного), должно быть неотрицательным, поскольку не существует действительных чисел, которые при возведении в четную степень давали бы отрицательное число.
Изучением корней четной степени из отрицательных чисел занимается особый раздет математики - теория комплексных чисел.
Как найти ОДЗ переменных для выражения $x^3 + 2xy − 4$?.
Возвести в куб можно любое число, равно как выполнить другие встречающиеся в данном примере арифметические операции (умножение, сложение, вычитание). Следовательно, можно вычислить значение данного выражения при любых значениях $x$ и $y$. Иными словами, выражение $x^3 + 2xy − 4$ имеет смысл при любых значениях его переменных. ОДЗ для него представляет собой множество пар $(x, y)$, где как $x$, так и $y$ могут быть любым числом.
Ответ:
$(x, y)$, где $x$ – любое, $y$ - любое.
Найти ОДЗ переменной x для выражения $\frac{1}{3} - \frac{x + 1}{0} $.
В знаменателе одной из дробей, входящих в состав данного выражения, присутствует ноль, следовательно, ни одно значение переменной $x$ не позволит составить имеющее смысл выражение. Следовательно, данное выражение не определено ни при каких значениях переменной $x$.
Ответ:
Пустое множество ($∅$).
