Над комплексными числами можно выполнять следующие действия:
- сложение;
- вычитание;
- умножение;
- деление;
- возведение комплексного числа в степень;
- извлечение корня $n$--й степени из комплексного числа.
Операции сложения и вычитания выполняются для чисел, представленных в алгебраической форме.
Умножение, деление и возведение в степень выполняются для чисел, представленных в любой форме записи.
Извлечение корня выполняется для чисел, представленных в тригонометрической форме.
Запись некоторого комплексного числа $z$ в виде $z=a+bi$ называется алгебраической формой записи (или алгебраической записью) комплексного числа. При этом:
- $a$ - вещественная (действительная) часть;
- $b$ - мнимая часть.
Запись некоторого комплексного числа $z$ в виде $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ называется тригонометрической формой записи, где число $r$ - модуль комплексного числа $z$, определяемый по формуле $r=|z|=|a+bi|=\sqrt{a^{2} +b^{2} } $, $\varphi $ - аргумент комплексного числа $z$, определяемый по формуле $\varphi =arctg\frac{b}{a} $.
Запись некоторого комплексного числа $z$ в виде $z=r\cdot e^{i\varphi } $ называется показательной формой записи, где число $r$ - модуль комплексного числа $z$, определяемый по формуле $r=|z|=|a+bi|=\sqrt{a^{2} +b^{2} } $, $\varphi $ - аргумент комплексного числа $z$, определяемый по формуле $\varphi =arctg\frac{b}{a} $.
При необходимости извлечения корня из комплексного числа, записанного в показательной форме, необходимо предварительно привести его к тригонометрической форме представления.
Сумма комплексных чисел
Суммой двух заданных комплексных чисел $z_{1} =a_{1} +b_{1} i$ и $z_{2} =a_{2} +b_{2} i$ является комплексное число, которое определяется равенством
Разность комплексных чисел
Разностью двух заданных комплексных чисел $z_{1} =a_{1} +b_{1} i$ и $z_{2} =a_{2} +b_{2} i$ является комплексное число, которое определяется
равенством
Выполнить действия: 1) $z_{1} +z_{2} $2) $z_{1} -z_{2} $ для заданных комплексных чисел $z_{1} =2+4i$ и $z_{2} =1-3i$.
Решение:
1) По определению имеем: $z_{1} +z_{2} =(a_{1} +a_{2} )+(b_{1} +b_{2} )\cdot i$
Для исходных чисел получаем:
2) По определению имеем: $z_{1} -z_{2} =(a_{1} -a_{2} )+(b_{1} -b_{2} )\cdot i$
Для исходных чисел получаем:
Произведение комплексных чисел
Произведением двух заданных комплексных чисел $z_{1} =a_{1} +b_{1} i$ и $z_{2} =a_{2} +b_{2} i$ является комплексное число, которое получается перемножением данных чисел по правилам алгебры с учетом того, что $i^{2} =-1$.
Произведением двух заданных комплексных чисел $z_{1} =r_{1} \cdot (\cos \varphi _{1} +i\sin \varphi _{1} )$ и $z_{2} =r_{2} \cdot (\cos \varphi _{2} +i\sin \varphi _{2} )$ является комплексное число, которое определяется равенством
Выполнить умножение комплексных чисел представленных в алгебраической форме:
$z_{1} =1+3i$ и $z_{2} =2-2i$.Решение:
Для исходных чисел, учитывая определение, получаем:
Выполнить умножение комплексных чисел представленных в тригонометрической форме:
$z_{1} =3\sqrt{3} \cdot (\cos \frac{\pi }{2} +i\cdot \sin \frac{\pi }{2} )$ и $z_{2} =2\cdot (\cos \pi +i\cdot \sin \pi )$.Решение:
1) По определению имеем: $z_{1} \cdot z_{2} =r_{1} \cdot r_{2} \cdot [\cos (\varphi _{1} +\varphi _{2} )+i\sin (\varphi _{1} +\varphi _{2} )]$
Для исходных чисел получаем:
Частное комплексных чисел
Частным двух заданных комплексных чисел $z_{1} =r_{1} \cdot (\cos \varphi _{1} +i\sin \varphi _{1} )$ и $z_{2} =r_{2} \cdot (\cos \varphi _{2} +i \sin \varphi _{2} )$ является комплексное число, которое определяется равенством
Выполнить деление комплексных чисел, представленных в алгебраической форме:
$z_{1} =2+i$ и $z_{2} =1-i$.Решение:
Для исходных чисел получаем:
Выполнить деление комплексных чисел представленных в тригонометрической форме:
$z_{1} =3\cdot \left(\cos \frac{2\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{2\pi }{3} \right)$ и $z_{2} =2\cdot (\cos 2\pi +i\cdot \sin 2\pi )$.Решение:
По определению имеем: $z_{1} \div z_{2} =\frac{r_{1} }{r_{2} } \cdot [\cos (\varphi _{1} -\varphi _{2} )+i\sin (\varphi _{1} -\varphi _{2} )]$
Для исходных чисел получаем:
Степерь комплексного числа
Степенью порядка $n$ некоторого комплексного числа $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ является комплексное число, которое определяется равенством
Данная формула называется формулой Муавра.
Выполнить действие $z^{3} $, где $z=3\cdot \left(\cos \frac{\pi }{4} +i\cdot \sin \frac{\pi }{4} \right)$.
Решение:
По формуле Муавра получим:
Выполнить действие $z^{100} $, где $z=1\cdot \left(\cos \frac{\pi }{2} +i\cdot \sin \frac{\pi }{2} \right)$.
Решение:
По формуле Муавра получим:
Корень комплексного числа
Корнем $n$-й степени некоторого комплексного числа $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ является комплексное число, которое определяется равенством
Выполнить действие $\sqrt[{3}]{z} $, где $z=4\cdot (\cos \pi +i\cdot \sin \pi )$.
Решение:
Для $k=0$ получаем: $w_{1} =\sqrt[{3}]{z} =\sqrt[{3}]{4} \cdot \left(\cos \frac{\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{\pi }{3} \right)$.
Для $k=1$ получаем: $w_{2} =\sqrt[{3}]{z} =\sqrt[{3}]{4} \cdot \left(\cos \frac{\pi +2\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{\pi +2\pi }{3} \right)=\sqrt[{3}] {4} \cdot \left(\cos \pi +i\cdot \sin \pi \right)$.
Для $k=2$ получаем: $w_{3} =\sqrt[{3}]{z} =\sqrt[{3}]{4} \cdot \left(\cos \frac{\pi +4\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{\pi +4\pi }{3} \right)=\sqrt[{3}] {4} \cdot \left(\cos \frac{5\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{5\pi }{3} \right)$.
