Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Интеграл от е в степени х

Общие сведения

Определение 1

Функция е в степени х — это особый случай показательной функции, где в качестве основания выступает число е, иначе называемое числом Эйлера. Иначе такая функция называется экспоненциальной или экспонентой, записываться она может в нескольких формах: ex=exp(x).

При этом первообразная от такой функции равна тому же самому значению, что и функция. то есть ex.

Понять это можно, найдя табличное значение для этой функции среди производных.

Для функции y=ex+c производная равна y=(ex+c)=ex.

При рассмотрении интеграла приведённым табличным значением необходимо воспользоваться наоборот, не забыв при этом про необходимость добавления некоторой константы c:

ex=ex+c(1).

Из формулы (1) для вычисления неопределённого интеграла от экспоненты видно, что также как и для всех остальных неопределённых интегралов, функция ex имеет бесконечное множество первообразных, отличающихся между собой константой c.

Если же для некоторой функции необходимо найти определённый интеграл, то результат интегрирования будет только один и для функции ex он будет записываться через формулу Ньютона-Лейбница:

baex=ebea

Переход от производной ex к интегралу от ex

Для более полного понимания полезно будет вспомнить, как выводится формула для производной от функции е в степени x.

Для этого осуществим стандартный вывод формулы производной.

Для начала рассмотрим приращение степенной функции:

ΔyΔx=ax+ΔxaxΔx=axaΔx1Δx.

Теперь рассмотрим предел получившегося выражения при Δx0:

y(x)=limΔx0=axlna

Если y=ex, то предыдущее выражение превращается в y(x)=ex.

Пример 1

Найдите первообразные сложных функций от икс:

  1. e2x5 2)

  2. e2x3+1.

Решение:

  1. e2x5=12e2x5+c;

  2. e2x3+1=32e2x3+1+c

Дата последнего обновления статьи: 16.04.2024
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Интеграл от е в степени х"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant