Общие сведения
Функция е в степени х — это особый случай показательной функции, где в качестве основания выступает число е, иначе называемое числом Эйлера. Иначе такая функция называется экспоненциальной или экспонентой, записываться она может в нескольких формах: ex=exp(x).
При этом первообразная от такой функции равна тому же самому значению, что и функция. то есть ex.
Понять это можно, найдя табличное значение для этой функции среди производных.
Для функции y=ex+c производная равна y′=(ex+c)′=ex.
При рассмотрении интеграла приведённым табличным значением необходимо воспользоваться наоборот, не забыв при этом про необходимость добавления некоторой константы c:
∫ex=ex+c(1).
Из формулы (1) для вычисления неопределённого интеграла от экспоненты видно, что также как и для всех остальных неопределённых интегралов, функция ex имеет бесконечное множество первообразных, отличающихся между собой константой c.
Если же для некоторой функции необходимо найти определённый интеграл, то результат интегрирования будет только один и для функции ex он будет записываться через формулу Ньютона-Лейбница:
b∫aex=eb−ea
Переход от производной ex к интегралу от ex
Для более полного понимания полезно будет вспомнить, как выводится формула для производной от функции е в степени x.
Для этого осуществим стандартный вывод формулы производной.
Для начала рассмотрим приращение степенной функции:
ΔyΔx=ax+Δx–axΔx=ax⋅aΔx−1Δx.
Теперь рассмотрим предел получившегося выражения при Δx→0:
y′(x)=limΔx→0=ax⋅lna
Если y=ex, то предыдущее выражение превращается в y′(x)=ex.
Найдите первообразные сложных функций от икс:
e2x−5 2)
e2x3+1.
Решение:
∫e2x−5=12e2x−5+c;
∫e2x3+1=32⋅e2x3+1+c