Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Уравнения с одной переменной

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Уравнения с одной переменной
Определение

Уравнение -- это равенство, которое имеет неизвестное число, обозначенное буквой. Неизвестное число называют переменной.

Например: $4x-9=x,\ \ 2\left(y+8\right)=5y-8,\ \ 3z-18=-\left(z+2\right).$

Определения

Выражение, записанное в уравнении слева от знака равенства, называют левой частью уравнения, а выражение записанное справа, - правой частью уравнения.

Число, которое удовлетворяет уравнение, называется корнем или решением уравнения. Если в уравнение $4x-9=x$ вместо переменной $x$ подставить $3,\ $то получим $9\cdot 3-9=3-$ правильное числовое равенство.

Уравнения могут иметь разное количество корней. Решить уравнение -- означает найти все его корни либо доказать, что их нет.

Если уравнения имеет одни и те же корни, то они называются равносильными. Равносильными считаются и те уравнения, которые не имею решения.

При решении равнений используют такие свойства:

  1. Если в любой из частей уравнения раскрыть скобки или свести подобные слагаемые, то получим уравнение, равносильное данному.
  2. Если в уравнении перенести слагаемое с одной части в другую, сменив знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.
  3. Если обе части уравнения умножить или поделить на одно и то самое число, отменное от нуля, то получим уравнение, равносильное данному.

Уравнение вида $ax=b,$ где $a$ и $b-$некоторые числа, $x-$переменная, называется линейным уравнением с одной переменной.

Возможны такие решения линейного уравнения:

Уравнения с одной переменной

Пример 1

Решите уравнения:

Уравнения с одной переменной

Пример 2

Решите уравнение:

\[7-5\left(x+1\right)=4-7x\]
  1. Раскроем скобки:
  2. \[7-5x-5=4-7x\]
  3. Перенесем слагаемые, что имеют переменную в левую часть, а остальные в правую, изменив знаки на противоположные:
  4. \[-5x+7x=-7+5+4\]
  5. Сведем подобные слагаемые
  6. \[2x=2\]
  7. Решим полученное линейное уравнение
  8. \[x=2:2\] \[x=1\]

Ответ. 1.

Квадратные уравнения

Определения

Уравнения вида $ax^2+bx+c=0\ \ \left(a\ne 0\right)$ называется квадратным уравнением с одной переменной, $a-$коефициент при $x^2$ (первый коэффициент), $b-$коэффициент при $x$ (второй коэффициент), $c-$свободный член.

Если $b\ne 0,\ \ c\ne 0,\ $ то квадратное уравнение называется полным.

Если $a=1,\ $то квадратное уравнение называется сведенным, если $a\ne 1,$ -- несведенным. Несведенное квадратное уравнение всегда можно сделать сведенным, разделив обе части его на первый коэффициент $a\ne 0.$

Сведенные квадратные уравнения обычно записывают в виде $x^2+px+q=0.$

Корни квадратного уравнения можно найти, выделив полный квадрат двучлена с квадратного трехчлена.

Если второй коэффициент $b$ либо свободный член $c$ равняется нулю, то квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0\ $называется неполным.

Корни уравнения $ax^2+bx+c=0$ находят по формуле

\[x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

Выражение $D=b^2-4ac$ называют дискриминантом квадратного уравнения.

Если $D

Если $D > 0,$ то уравнение имеет два действительных корня.

Если $D=0,$ то уравнение имеет один действительный корень.

В случае, когда $D=0,$ иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.

Используя обозначение $D=b^2-4ac$, можно переписать формулу в виде

\[x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\]

Если $b=2k,\ $то формула принимает вид

\[x=\frac{-2k\pm \sqrt{4k^2-4ac}}{2a}=\frac{-2k\pm 2\sqrt{k^2-ac}}{2a}=\frac{-k\pm \sqrt{k^2-ac}}{a}\]

Значит, $x=\frac{-k\pm \sqrt{k^2-ac}}{a}$, где $k=\frac{b}{2}.$

Пример 3

Решить уравнение

\[2x^2-5x+2=0\]

Решение.

Здесь $a=2,\ b=-5,\ c=2.$

Имеем

\[D=b^2-4ac={\left(-5\right)}^2-4\cdot 2\cdot 2=9\]

Так как $D > 0,$ то уравнение имеет два корня

\[x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm \sqrt{9}}{4}=\frac{5\pm 3}{4}\]

Итак,

\[x_1=\frac{5+3}{4}=2,\ \ x_2=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2}.\ \]

Ответ. $\frac{1}{2},\ 2.$

Уравнения с параметрами

Если в уравнении $ax=b\ \ \ \ x-$переменная, а буква $a$ обозначает какое либо число, то говорят, что это уравнение с параметром. Что б решить такое уравнение, необходимо рассмотреть такие случаи:

  1. При $a=0$ получаем уравнение $0x=b$
  2. Имеем два случая:

    1. При $b=0$ корнем будет любое число
    2. При $b\ne 0$ уравнение корней не имеет
  3. При $a\ne 0$ делим обе части уравнения на $a$ (которое не равняется нулю) и получаем $x=\frac{b}{a}.$

Уравнение с параметром можно решать так само, как и обычные уравнения, но только до тех пор, пока каждое перевоплощение можно выполнить однозначно. Если же какое-то перевоплощение нельзя выполнить однозначно, то решение надо разбить на несколько случаев.

Пример 4

Решить уравнение $5ax+3a=2ax+9a,$ где $x-$переменная.

Решение. Перенесем члены со сменной $x$ в одну часть, а без $x-$ в другую:

\[5ax-2ax=9a-3a\]

Сведем подобные слагаемые

\[3ax=6a\]

Для нахождения переменной $x$ мы б хотели поделить обе части уравнения на $3a,\ $но при $a=0$ мы будем делить на $0,$ что невозможно. Значит, начиная с этого момента, надо рассматривать два случая. Можем записать так:

\[5ax-2ax=9a-3a\] \[3ax=6a\]

Если $a=0,$ то $0\cdot x=0$, значит $x-$ любое число;

Если $a\ne 0,$ то $x=2.$

Ответ. При $a=0-$любое число; при $a\ne 0\ \ \ \ x=2.$