Если для каждой пары $(x,y)$ значений двух независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $z$, то говорят, что $z$ является функцией двух переменных $(x,y)$. Обозначение: $z=f(x,y)$.
Рассмотрим функцию $z=f(x,y)$, которая определена в некоторой области в пространстве $Oxy$.
Для заданной функции определим вектор, для которого проекциями на оси координат являются значения частных производных заданной функции в некоторой точке $\frac{\partial z}{\partial x} ;\frac{\partial z}{\partial y} $.
Градиентом заданной функции $z=f(x,y)$ называется вектор $\overrightarrow{gradz} $ следующего вида:
\[\overrightarrow{gradz} =\frac{\partial z}{\partial x} \cdot \overrightarrow{i} +\frac{\partial z}{\partial y} \cdot \overrightarrow{j} .\]Пусть в некотором скалярном поле $z=z(x,y)$ определено поле градиентов
\[\overrightarrow{gradz} =\frac{\partial z}{\partial x} \cdot \overrightarrow{i} +\frac{\partial z}{\partial y} \cdot \overrightarrow{j} .\]Производная $\frac{\partial z}{\partial s} $ по направлению заданного вектора $\overrightarrow{s} $ равна проекции вектора градиента $\overrightarrow{gradz} $ на заданный вектор $\overrightarrow{s} $.
Для функции двух переменных вектор $\overrightarrow{gradz} $ направлен перпендикулярно к линии уровня $z(x,y)=c$, которая лежит в плоскости $Oxy$ и проходит через соответствующую точку.
Определить градиент заданной функции
\[z=x^{2} +2y^{2} .\]Решение:
Выражение для градиента находим по формуле
\[\overrightarrow{gradz} =\frac{\partial z}{\partial x} \cdot \overrightarrow{i} +\frac{\partial z}{\partial y} \cdot \overrightarrow{j} .\]Частные производные имеют вид:
\[\frac{\partial z}{\partial x} =2x;\frac{\partial z}{\partial y} =4y.\]Следовательно,
\[\overrightarrow{gradz} =2x\cdot \overrightarrow{i} +4y\cdot \overrightarrow{j} .\]Определить градиент заданной функции
\[z=x+y^{2} \]в точке $M(1;2)$. Вычислить $\left(|\overrightarrow{gradz} |\right)_{M} $.
Решение:
Выражение для градиента в заданной точке находим по формуле
\[\left(\overrightarrow{gradz} \right)_{M} =\left(\frac{\partial z}{\partial x} \right)_{M} \cdot \overrightarrow{i} +\left(\frac{\partial z}{\partial y} \right)_{M} \cdot \overrightarrow{j} .\]Частные производные имеют вид:
\[\frac{\partial z}{\partial x} =1;\frac{\partial z}{\partial y} =2y.\]Производные в точке $M(1;2)$:
\[\frac{\partial z}{\partial x} =1;\frac{\partial z}{\partial y} =2\cdot 2=4.\]Следовательно,
\[\left(\overrightarrow{gradz} \right)_{M} =\overrightarrow{i} +4\cdot \overrightarrow{j} \]и
\[\left(|\overrightarrow{gradz} |\right)_{M} =\sqrt{1^{2} +4^{2} } =\sqrt{1+16} =\sqrt{17} .\]Если для каждой тройки $(x,y,z)$ значений трех независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$, то говорят, что $w$ является функцией трех переменных $(x,y,z)$ в данной области.
Обозначение: $w=f(x,y,z)$.
Рассмотрим функцию $w=f(x,y,z)$, которая определена в некоторой области в пространстве $Oxyz$.
Для заданной функции определим вектор, для которого проекциями на оси координат являются значения частных производных заданной функции в некоторой точке $\frac{\partial z}{\partial x} ;\frac{\partial z}{\partial y} $.
Градиентом заданной функции $w=f(x,y,z)$ называется вектор $\overrightarrow{gradw} $ следующего вида:
\[\overrightarrow{gradw} =\frac{\partial w}{\partial x} \cdot \overrightarrow{i} +\frac{\partial w}{\partial y} \cdot \overrightarrow{j} +\frac{\partial w}{\partial z} \cdot \overrightarrow{k} .\]Пусть в некотором скалярном поле $w=f(x,y,z)$ определено поле градиентов
\[\overrightarrow{gradw} =\frac{\partial w}{\partial x} \cdot \overrightarrow{i} +\frac{\partial w}{\partial y} \cdot \overrightarrow{j} +\frac{\partial w}{\partial z} \cdot \overrightarrow{k} .\]Производная $\frac{\partial w}{\partial s} $ по направлению заданного вектора $\overrightarrow{s} $ равна проекции вектора градиента $\overrightarrow{gradw} $ на заданный вектор $\overrightarrow{s} $.
Определить градиент заданной функции
\[w=x^{2} +2y^{2} +2z.\]Решение:
Выражение для градиента находим по формуле
\[\overrightarrow{gradw} =\frac{\partial w}{\partial x} \cdot \overrightarrow{i} +\frac{\partial w}{\partial y} \cdot \overrightarrow{j} +\frac{\partial w}{\partial z} \cdot \overrightarrow{k} .\]Частные производные имеют вид:
\[\frac{\partial w}{\partial x} =2x;\frac{\partial w}{\partial y} =4y;\frac{\partial w}{\partial z} =2.\]Следовательно,
\[\overrightarrow{gradw} =2x\cdot \overrightarrow{i} +4y\cdot \overrightarrow{j} +2\cdot \overrightarrow{k} .\]Определить градиент заданной функции
\[w=x^{2} +2y^{2} +2z^{3} \]в точке $M(1;2;1)$. Вычислить $\left(|\overrightarrow{gradz} |\right)_{M} $.
Решение:
Выражение для градиента в заданной точке находим по формуле
\[\left(\overrightarrow{gradw} \right)_{M} =\left(\frac{\partial w}{\partial x} \right)_{M} \cdot \overrightarrow{i} +\left(\frac{\partial w}{\partial y} \right)_{M} \cdot \overrightarrow{j} +\left(\frac{\partial w}{\partial z} \right)_{M} \cdot \overrightarrow{k} .\]Частные производные имеют вид:
\[\frac{\partial w}{\partial x} =2x;\frac{\partial w}{\partial y} =4y;\frac{\partial w}{\partial z} =6z^{2} .\]Производные в точке $M(1;2)$:
\[\frac{\partial w}{\partial x} =2\cdot 1=2;\frac{\partial w}{\partial y} =4\cdot 2=8;\frac{\partial w}{\partial z} =6\cdot 1^{2} =6.\]Следовательно,
\[\left(\overrightarrow{gradw} \right)_{M} =2\cdot \overrightarrow{i} +8\cdot \overrightarrow{j} +6\cdot \overrightarrow{k} \]и
\[\left(|\overrightarrow{gradw} |\right)_{M} =\sqrt{2^{2} +8^{2} +6^{2} } =\sqrt{4+64+36} =\sqrt{104} .\]Перечислим некоторые свойства градиента:
-
Производная заданной функции в заданной точке по направлению некоторого вектора $\overrightarrow{s} $ имеет наибольшее значение, если направление данного вектора $\overrightarrow{s} $ совпадает с направлением градиента. При этом данное наибольшее значение производной совпадает с длиной вектора градиента, т.е. $|\overrightarrow{gradw} |$.
-
Производная заданной функции по направлению вектора, который перпендикулярен к вектору градиента, т.е. $\overrightarrow{gradw} $, равна 0. Так как $\varphi =\frac{\pi }{2} $, то $\cos \varphi =0$; следовательно, $\frac{\partial w}{\partial s} =|\overrightarrow{gradw} |\cdot \cos \varphi =0$.
