Если для каждой пары (x,y) значений двух независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение z, то говорят, что z является функцией двух переменных (x,y). Обозначение: z=f(x,y).
Рассмотрим функцию z=f(x,y), которая определена в некоторой области в пространстве Oxy.
Для заданной функции определим вектор, для которого проекциями на оси координат являются значения частных производных заданной функции в некоторой точке ∂z∂x;∂z∂y.
Градиентом заданной функции z=f(x,y) называется вектор →gradz следующего вида:
→gradz=∂z∂x⋅→i+∂z∂y⋅→j.Пусть в некотором скалярном поле z=z(x,y) определено поле градиентов
→gradz=∂z∂x⋅→i+∂z∂y⋅→j.Производная ∂z∂s по направлению заданного вектора →s равна проекции вектора градиента →gradz на заданный вектор →s.
Для функции двух переменных вектор →gradz направлен перпендикулярно к линии уровня z(x,y)=c, которая лежит в плоскости Oxy и проходит через соответствующую точку.
Определить градиент заданной функции
z=x2+2y2.Решение:
Выражение для градиента находим по формуле
→gradz=∂z∂x⋅→i+∂z∂y⋅→j.Частные производные имеют вид:
∂z∂x=2x;∂z∂y=4y.Следовательно,
→gradz=2x⋅→i+4y⋅→j.Определить градиент заданной функции
z=x+y2в точке M(1;2). Вычислить (|→gradz|)M.
Решение:
Выражение для градиента в заданной точке находим по формуле
(→gradz)M=(∂z∂x)M⋅→i+(∂z∂y)M⋅→j.Частные производные имеют вид:
∂z∂x=1;∂z∂y=2y.Производные в точке M(1;2):
∂z∂x=1;∂z∂y=2⋅2=4.Следовательно,
(→gradz)M=→i+4⋅→jи
(|→gradz|)M=√12+42=√1+16=√17.Если для каждой тройки (x,y,z) значений трех независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение w, то говорят, что w является функцией трех переменных (x,y,z) в данной области.
Обозначение: w=f(x,y,z).
Рассмотрим функцию w=f(x,y,z), которая определена в некоторой области в пространстве Oxyz.
Для заданной функции определим вектор, для которого проекциями на оси координат являются значения частных производных заданной функции в некоторой точке ∂z∂x;∂z∂y.
Градиентом заданной функции w=f(x,y,z) называется вектор →gradw следующего вида:
→gradw=∂w∂x⋅→i+∂w∂y⋅→j+∂w∂z⋅→k.Пусть в некотором скалярном поле w=f(x,y,z) определено поле градиентов
→gradw=∂w∂x⋅→i+∂w∂y⋅→j+∂w∂z⋅→k.Производная ∂w∂s по направлению заданного вектора →s равна проекции вектора градиента →gradw на заданный вектор →s.
Определить градиент заданной функции
w=x2+2y2+2z.Решение:
Выражение для градиента находим по формуле
→gradw=∂w∂x⋅→i+∂w∂y⋅→j+∂w∂z⋅→k.Частные производные имеют вид:
∂w∂x=2x;∂w∂y=4y;∂w∂z=2.Следовательно,
→gradw=2x⋅→i+4y⋅→j+2⋅→k.Определить градиент заданной функции
w=x2+2y2+2z3в точке M(1;2;1). Вычислить (|→gradz|)M.
Решение:
Выражение для градиента в заданной точке находим по формуле
(→gradw)M=(∂w∂x)M⋅→i+(∂w∂y)M⋅→j+(∂w∂z)M⋅→k.Частные производные имеют вид:
∂w∂x=2x;∂w∂y=4y;∂w∂z=6z2.Производные в точке M(1;2):
∂w∂x=2⋅1=2;∂w∂y=4⋅2=8;∂w∂z=6⋅12=6.Следовательно,
(→gradw)M=2⋅→i+8⋅→j+6⋅→kи
(|→gradw|)M=√22+82+62=√4+64+36=√104.Перечислим некоторые свойства градиента:
-
Производная заданной функции в заданной точке по направлению некоторого вектора →s имеет наибольшее значение, если направление данного вектора →s совпадает с направлением градиента. При этом данное наибольшее значение производной совпадает с длиной вектора градиента, т.е. |→gradw|.
-
Производная заданной функции по направлению вектора, который перпендикулярен к вектору градиента, т.е. →gradw, равна 0. Так как φ=π2, то cosφ=0; следовательно, ∂w∂s=|→gradw|⋅cosφ=0.
