Экстремумы функции
Для того чтобы ввести понятие наибольшего и наименьшего значения функций, вначале познакомимся с таким понятием, как экстремумы функций. Это понятие нам будет необходимо не для самого определения значений таких функций, а для построения схемы нахождения таких промежутков для конкретно заданных функций.
Точка x′ входящая в область определения функции называется точкой экстремума, если она либо будет точкой максимума, либо будет точкой минимума для функции f(x).
Точка x′ будет называться точкой максимума для введенной функции f(x), если у она имеет такую окрестность, что для всех точек x, которые входят в эту окрестность, будет верно f(x)≤f(x′ ).
Точка x0 будет называться точкой минимума для введенной функции f(x), если она имеет такую окрестность, что для всех точек x, которые входят в эту окрестность, будет верно f(x)≥f(x′ ).
Чтобы полностью разобраться в данном понятии, далее введем понятие критической точки функции.
Точка x′ будет называться критической точкой для данной функции f(x), если выполняются два следующих условия:
- Точка x′ является внутренней точкой для области определения данной функции;
- f′(x′ )=0 или не существует.
Сформулируем без доказательства теоремы о необходимом (теорема 1) и достаточном (теорема 2) условии для существования точки экстремума.
Если y=f(x) имеет экстремум в точке x0, то либо её производная в ней равняется нулю, либо производная в ней не существует.
Пусть точка x′ будет критической для y=f(x) и принадлежит интервалу (a,b), причем на каждом интервале (a,x′ ) и (x′ ,b) производная f′(x) существует и сохраняет один и тот же знак. В этом случае:
- Если в (a,x′ ) f′(x)>0, а в (x′ ,b) $f'\left(x\right)
- Если в (a,x′ ) f′(x)0, то x′ --будет точкой минимума для этой функции.
- Если и в (a,x′ ), и в (x′ ,b) производная $имеет\ один\ и\ тот\ же\ постоянный\ знак,тоx'$ не будет точкой экстремума для этой функции.
На рисунке 1 мы можем наглядно увидеть смысл теоремы 2.
Рисунок 1.
Примеры точек экстремумов вы можете видеть на рисунке 2.
Рисунок 2.
Правило исследования на экстремум
- Найти D(f);
- Найти f′(x);
- Найти точки, где f′(x)=0;
- Найти точки, где f′(x) не будет существовать;
- Отметить на координатной прямой D(f) и все найденные в 3 и 4 пункте точки;
- Определить знак f′(x) на полученных промежутках;
- Используя теорему 2, сделать заключение по поводу всех найденных точек.
Понятие наибольшего и наименьшего значений
Функция y=f(x), которая имеет областью определения множество X, имеет наибольшее значение в точке x′∈X, если выполняется
f(x)≤f(x′)Функция y=f(x), которая имеет областью определения множество X, имеет наименьшее значение в точке x′∈X, если выполняется
f(x)≥f(x′)Чтобы найти наименьшее и наибольшее значение заданной функции на каком либо отрезке необходимо произвести следующие действия:
- Найти f′(x);
- Найти точки, в которых f′(x)=0;
- Найти точки, в которых f′(x) не будет существовать;
- Выкинуть из точек, найденных в пунктах 2 и 3 те, которые не лежат в отрезке [a,b];
- Вычислить значения в оставшихся точках и на концах [a,b];
- Выбрать из этих значений наибольшее и наименьшее.
Примеры задач
Найти наибольшее и наименьшее значения на 0,6: f(x)=x3−3x2−45x+225
Решение.
- f′(x)=3x2−6x−45;
- f′(x)=0;
- 3x2−6x−45=0
- x2−2x−15=0
- x=5, x=−3
- f′(x) существует на всей D(f);
- 5∈[0,6];
-
Значения:
f(0)=225 f(5)=50 f(6)=63 -
Наибольшее значение равняется 225, наименьшее равняется 50.
Ответ: max=225, min=50.
Найти наибольшее и наименьшее значения на −1,1:f(x)=x2−4x+4x−2
Решение.
f(x)=x2−4x+4x−2=(x−2)2x−2=x−2, x≠2-
f′(x)=(x−2)′=1;
Точек экстремума нет.
-
Значения:
f(−1)=−3 f(1)=−1
Ответ: max=−1, min=−3.
