Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Применение векторов к решению задач

Все предметы / Математика / Векторы / Применение векторов к решению задач

Сущность векторного метода для решения геометрических задач

Векторный метод решения задач основан на решении задач с использованием аппарата векторной алгебры.

Применение векторной алгебры к решению геометрических задач основано на следующих основных утверждениях.

Утверждение 1 (Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов): Два ненулевых вектора $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ коллинеарны тогда и только тогда, когда существует действительное число $k\ne 0$, такое, что удовлетворяется следующее равенство

Утверждение 2: Если векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ не коллинеарны, то любой вектор $\overrightarrow{c}$, компланарный с данными векторами можно представить в виде линейной комбинации и притом единственным образом:

Утверждение 3: Любой вектор $\overrightarrow{d}$ в трехмерном пространстве можно разложить по трем некомпланарным векторам $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$:

При решении задач векторным методом также применяются такие понятия, как сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число, а также понятие скалярного произведения векторов.

Общая схема для решения геометрических задач векторным методом

При решении геометрических задач векторным методом рекомендуется пользоваться следующей схемой:

  1. Провести анализ условия задачи:

    а) Выяснить в какой системе координат (двумерной или трехмерной) рассматривается данная задача;

    б) Записать, что нам дано, что нужно найти или доказать, а также построить чертеж по условию задачи.

  2. Перевести условие задачи и требования к векторному виду.

  3. Составить векторные соотношения, соответствующие тому, что дано в задаче и привести их к векторным соотношениям, соответствующим требованиям задачи.

  4. Перевести полученный результат на геометрический язык.

Примеры типов задач, которые решаются векторным методом

Приведем теперь примеры классических задач, решаемых с помощью векторного метода (Не приводя их решений).

  1. Задачи на доказательство параллельности.

  2. Задачи на нахождение отношений, в котором точка делит отрезок.

  3. Задачи на доказательство принадлежности трех точек одной прямой.

  4. Задачи на доказательство принадлежности четырех точек одной плоскости.

  5. Задачи на доказательство перпендикулярности.

  6. Задачи на вычисление длины отрезка.

  7. Задачи на нахождение величины угла.

  8. Задачи на вычисление площадей и объемов геометрических фигур.

Готовые работы на аналогичную тему

Примеры задач на применение векторного метода

Далее рассмотрим ряд задач, которые решаются с помощью векторного метода.

Пример 1

Доказать, что линия, соединяющая середины диагоналей произвольной трапеции параллельна основаниям этой трапеции и равна их полуразности.

Доказательство.

Пусть нам дана трапеция $ABCD.$ $MN$ - отрезок, соединяющий середины диагоналей данной трапеции (рис. 1).



Рисунок 1.

Докажем, что $MN=\frac{AD-BC}{2}$ и $MN||AD$

Рассмотрим вектор $\overrightarrow{MN}$. Используя правило многоугольника для сложения векторов, с одной стороны, получим

\[\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}\]

С другой стороны

\[\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BN}\]

Сложим два последних равенства:

\[2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BN}\]

Так как $MN$ - отрезок, соединяющий середины диагоналей, то

\[\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0},\ \overrightarrow{DN}+\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{0}\]

Тогда получим

\[2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}\]

То есть

\[\overrightarrow{MN}=\frac{\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}}{2}\]

Так как $\overrightarrow{AD}\ и\ \overrightarrow{BC}$ сонаправлены, то $\overrightarrow{MN}||\overrightarrow{AD}$.

Из этого получаем, что $MN=\frac{AD-BC}{2}$ и $MN||AD$

ч. т. д.

Пример 2

На сторонах треугольника $ABC$ взяты точки $L,\ M,\ K$, так что $\left|BL\right|=3\left|AL\right|,\ \left|BM\right|=2\left|CM\right|,\ \left|AK\right|=2|CK|$. Найти, в каком отношении прямая $KL$ делит отрезок $AM$.

Решение.

Обозначим через точку $E$ - точку пересечения отрезка $AM$ с прямой $KL$(рис. 2).



Рисунок 2.

Найдем $\left|AE\right|:|EM|$

Введем, для удобства, следующие обозначения: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}$, $\overrightarrow{AE}=x\overrightarrow{AM},$ $\overrightarrow{LE}=y\overrightarrow{LK}$

Воспользуемся далее правилом треугольника для сложения векторов. С одной стороны получим

\[\overrightarrow{AE}=x\overrightarrow{AM}=x\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}\right)=x\left(\overrightarrow{b}+\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}\right)\right)=\frac{2}{3}x\overrightarrow{c}-\frac{1}{3}x\overrightarrow{b}\]

С другой стороны

\[\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AL}+\overrightarrow{LE}=\overrightarrow{AL}+y\overrightarrow{LK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{b}+y\left(\frac{2}{3}\overrightarrow{c}-\frac{1}{4}\overrightarrow{b}\right)=\frac{2}{3}y\overrightarrow{c}+\frac{1}{4}\overrightarrow{b}-\frac{1}{4}y\overrightarrow{b}\]

Тогда

\[\frac{2}{3}x\overrightarrow{c}-\frac{1}{3}x\overrightarrow{b}=\frac{2}{3}y\overrightarrow{c}+\frac{1}{4}\overrightarrow{b}-\frac{1}{4}y\overrightarrow{b}\]

Получаем систему:



Рисунок 3.

$\overrightarrow{AE}=\frac{3}{7}\overrightarrow{AM}$, следовательно

Ответ: $3:4.$

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Евгений Николаевич Беляев

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис