Сократимые дроби

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Сократимые и несократимые дроби

Все обыкновенные дроби делятся на сократимые и несократимые дроби. Такое разделение дробей зависит от наличия или отсутствия общих делителей числителя и знаменателя, отличных от единицы.

Определение 1

Сократимая обыкновенная дробь -- это дробь, у которой числитель и знаменатель имеют положительный отличный от единицы общий делитель.

Пример 1

Например, обыкновенная дробь $\frac{4}{20}$ является сократимой, т.к. числитель $4$ и знаменатель $20$ делятся на $4$ , т.е. имеют положительный общий делитель $4$ , отличный от единицы. Сократимыми также являются дроби $\frac{3}{12}$ , $\frac{7}{7}$ . Легко увидеть, что числитель $3$ и знаменатель $12$ имеют отличный от единицы положительный общий делитель $3$ , а числа $7$ и $7$ имеют общий делитель $7$ .

Определение 2

Несократимая обыкновенная дробь -- это дробь, у которой числитель и знаменатель являются взаимно простыми, т.е. имеют единственный общий положительный делитель -- единицу.

Пример 2

Например, дроби $\frac{3}{5}$ , $\frac{11}{4}$ , $\frac{171}{5}$ , $\frac{18}{35}$ являются несократимыми, т.к. числитель и знаменатель каждой из них -- взаимно простые числа.

Правила проверки дроби на сократимость

В самых простых случаях проверить дробь на сократимость можно с помощью признаков делимости.

Например, легко увидеть, что дробь $\frac{230}{450}$ сократима, т.к. ее числитель и знаменатель имеют общий делитель $10$ . Или с помощью признака делимости на $2$ можно утверждать, что дробь $\frac{368}{6824}$ сократима.

В более сложных случаях с помощью признаков делимости сложно выяснить, сократима ли данная дробь. Например, сложно определить, сократима дробь $\frac{240671}{357893}$ . В таких случаях удобно использовать общий метод проверки дроби на сократимость.

«Сократимые дроби» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Помощь с рефератом от нейросети

Написать ИИ

Правило проверки обыкновенной дроби на сократимость

Вычислить наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя данной дроби:

если $НОД=1$ , то дробь является несократимой;
если $НОД\ne 1$ , то дробь является сократимой.

Пример 3

Проверить на сократимость обыкновенную дробь $\frac{203}{861}$ .

Решение.

Проверим, являются ли числитель $203$ и знаменатель $861$ взаимно простыми числами. Для этого найдем НОД числителя и знаменателя и проверим, равен ли он единице.

НОД вычислим по алгоритму Евклида:

$\frac{861}{203}=4$ (остаток $49$ )

$\frac{203}{49}=4$ (остаток $7$ )

$\frac{49}{7}=7$ (остаток $0$ )

$\frac{33}{25}=1$ (остаток $8$ )

$\frac{25}{8}=3$ (остаток $1$ )

Таким образом, НОД( $861, 203)=7$ . Итак, числитель и знаменатель данной дроби не являются взаимно простыми числами, поэтому $\frac{203}{861}$ -- сократимая дробь.

Ответ: дробь $\frac{203}{861}$ -- сократимая.

Сокращение дробей

Чтобы сократить дробь, нужно ее числитель и знаменатель разделить на их общий положительный отличный от единицы делитель. В результате сокращения дроби получают новую дробь, равную исходной, но с меньшим числителем и знаменателем.

Например, сократим обыкновенную дробь $\frac{7}{21}$ на $7$ , т.к. $7\div 7=1$ и $21\div 7=3$ . В результате сокращения получим дробь $\frac{1}{3}$ , для которой $\frac{7}{21}=\frac{7\cdot 1}{7\cdot 3}=\frac{1}{3}$ .

Приведение обыкновенных дробей к несократимому виду

Обычно дроби сокращают для получения несократимых дробей, которые равны исходным сократимым дробям. Несократимую дробь можно получить в результате сокращения исходной сократимой дроби на наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя -- наибольшее число, на которое можно сократить данную дробь.

Дробь $\frac{a:НОД\left(a,\ b\right)}{b:НОД\left(a,\ b\right)}$ -- несократимая, т.к. $a:НОД\left(a,\ b\right)$ и $b:НОД\left(a,\ b\right)$ -- взаимно простые числа.

Таким образом, для приведения обыкновенной дроби к несократимому виду необходимо ее числитель и знаменатель разделить на их НОД.

Под фразой «сократите дробь» чаще всего подразумевают приведение исходной дроби к несократимому виду. Т.е. именно деление числителя и знаменателя на их НОД, а не деление на любой их общий делитель.

Правило сокращения дробей

Найти НОД числителя и знаменателя дроби.
Разделить числитель и знаменатель дроби на их НОД, в результате чего получают несократимую дробь, равную исходной.

Пример 4

Сократить дробь $\frac{187}{231}$ .

Решение.

Воспользуемся правилом сокращения дробей:

Найдем НОД( $187, 231$ ).

Наиболее удобным является алгоритм Евклида:

$231=187\cdot 1+44$
$187=44\cdot 4+11$
$44=11\cdot 4$
Таким образом, НОД( $187, 231)=11$ .
Разделим числитель и знаменатель дроби $\frac{187}{231}$ на $11$ , в результате чего получим несократимую дробь, равную исходной дроби:

$\frac{187}{231}=\frac{17\cdot 11}{21\cdot 11}=\frac{17}{21}.$

Ответ: $\frac{187}{231}=\frac{17}{21}$

Иногда для сокращения дробей (в более простых случаях) применяют способ \textit{разложения дроби на простые множители}, после чего убираются все общие множители из числителя и знаменателя. Этот способ вытекает из правила сокращения дробей, т.к. НОД равен произведению всех общих простых множителей числителя и знаменателя.

Пример 5

Сократить дробь $\frac{720}{960}$ .

Решение.

Разложим числитель и знаменатель на простые множители:

Рисунок 1.

Получим $\frac{720}{960}=\frac{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5}$ .

Избавимся от общих множителей в числителе и знаменателе (для удобства их часто зачеркивают):

$\frac{720}{960}=\frac{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5}=\frac{3}{2\cdot 2}=\frac{3}{4}.$

Ответ: $\frac{720}{960}=\frac{3}{4}$ .

Также можно использовать еще один способ сокращения дроби -- последовательное сокращение. Т.е. на каждом шаге проводят сокращение дроби на общий делитель числителя и знаменателя, который легко определяется, например, по признакам делимости.

Пример 6

Сократить дробь $\frac{5000}{21150}$ .

Решение.

Легко увидеть, что общим множителем числителя и знаменателя дроби является число $10$ . После сокращения дроби $\frac{5000}{21150}$ на $10$ получим $\frac{500}{2115}$ .

Далее сократим дробь $\frac{500}{2115}$ на $5$ , исходя из признака делимости на $5$ . Получим $\frac{100}{423}$ -- несократимую дробь. Сокращение завершено.