Площадь. Формулы площади

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Понятие площади

Понятие площади многоугольника будем связывать с такой геометрической фигурой, как квадрат. За единицу площади многоугольника будем принимать площадь квадрата со стороной, равной единице. Введем два основных свойства, для понятия площади многоугольника.

Далее введем площади основных фигур планиметрии: квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции и треугольника без их вывода.

Площадь квадрата

Теорема 1

Площадь квадрата определяется как квадрат длины его стороны, то есть

S = a^{2}

$S=a^2$

Площадь прямоугольника

Теорема 2

Площадь прямоугольника определяется произведением длин его смежных сторон, то есть

S = a b

$S=ab$

Площадь параллелограмма

Теорема 3

Площадь параллелограмма определяется как произведение длины его стороны, на высоту, проведенную к ней, то есть

S = a h

$S=ah$

Теорема 4

Площадь параллелограмма определяется как произведение длины его смежных сторон, на синус угла между этими сторонами, то есть

S = a b s i n α

$S=absin\alpha$

Площадь трапеции

Теорема 5

Площадь трапеции определяется как половина произведения суммы длин его оснований, на его высоту, то есть

S = \frac{1}{2} (a + b) h

$S=\frac{1}{2}(a+b)h$

Площадь треугольника

Теорема 6

Площадь треугольника определяется как половина произведения длины его стороны, на высоту, проведенную к ней, то есть

S = \frac{1}{2} a h

$S=\frac{1}{2}ah$

«Площадь. Формулы площади» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

$Теорема$ Площадь треугольника определяется как половина произведения длины его смежных сторон, на синус угла между этими сторонами, то есть

$/Теорема$

Теорема 7

Пусть нам даны три стороны треугольника $a,\ b\ и\ c$ . Тогда площадь этого треугольника выражается следующим образом

S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}

$S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)(p-c)}$

где $p$ - полупериметр данного треугольника.

Теорема 8

Площадь правильного треугольника со стороной $a$ определяется следующим образом

S = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}

$S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Теорема 9

Пусть нам даны три стороны треугольника $a,\ b\ и\ c$ и радиус вписанной в него окружности $r$ . Тогда площадь этого треугольника выражается следующим образом

S = p r

$S=pr$

где $p$ - полупериметр данного треугольника.

Теорема 10

Пусть нам даны три стороны треугольника $a,\ b\ и\ c$ и радиус описанной около него окружности $R$ . Тогда площадь этого треугольника выражается следующим образом

S = \frac{a b c}{4 R}

$S=\frac{abc}{4R}$

Пример задач

Пример 1

Найти площадь фигуры, данной на рисунке $1$ , если одна клетка имеет площадь, равную единице.

Рисунок 1.

Решение.

Данную фигуру можно разбить следующим образом:

Рисунок 2.

По теореме $6$ , имеем

S_{A D C} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 = 7, 5, S_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2 = 5

$S_{ADC}=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 3=7,5,\ \ S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 2=5\$

$\$ Тогда

S = S_{A D C} + S_{A B C} = 7, 5 + 5 = 12, 5

$S=S_{ADC}+S_{ABC}=7,5+5=12,5$

Пример 2

Найти площадь фигуры, данной на рисунке $2$ , если одна клетка имеет площадь, равную единице.

Рисунок 3.

Решение.

Данную фигуру можно разбить следующим образом:

Рисунок 4.

По теореме $6$ , имеем

S_{A B M} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1 = 2, S_{B C P} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 = 1, 5, S_{O E D} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4, 5, S_{E N F} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1 = 2

$S_{ABM}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 1=2,\ \ S_{BCP}=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 1=1,5,\ \ S_{OED}=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 3=4,5,\ \ S_{ENF}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 1=2$

По теореме $2$ , имеем