Внесение числа под знак корня — арифметическая операция, полезная при необходимости сравнения нескольких чисел, каждое из которых находится под знаком корня. Также операция занесения числа под знак корня необходима для получения более точного ответа, так как в случае умножения приближённого числа, полученного после извлечения корня, на множитель, стоящий перед знаком корня, ошибка увеличивается на значение этого множителя.
Для того чтобы разобраться в том, как совершать операцию внесения множителя под знак корня, вспомним необходимые правила и определения, которые могут пригодиться для этого.
Арифметические действия, используемые для внесения множителя под корень
Сочетательный закон умножения
Произведение нескольких сомножителей не изменится, если какую-нибудь группу рядом стоящих сомножителей заменить их произведением: (xz)y=z(xy)
Распределительный закон умножения по отношению к сложению
Для умножения суммы нескольких чисел на какое-либо число необходимо умножить каждое слагаемое на это число, а затем полученные произведения сложить между собой:
(x+z)y=xy+zy
Также освежим в памяти определение корня.
Корень n-ой степени из числа m — это число, при возведении которого в n-нную степень получается число m. Получение числа m называется извлечением корня n-нной степени. Если n=2 — то корень называется квадратным.
Рассмотрим для примера равенство 3√827=±23. Число, написанное над корнем слева, в данном случае это тройка, называется степенью (показателем) корня, число, стоящее под знаком корня — подкоренным выражением, левая часть равенства целиком называется радикалом, а правая — значением корня.
Правила внесения множителя под знак корня
Теперь непосредственно рассмотрим, что же такое внесение множителя под знак корня.
Внесением множителя под знак корня называют операцию возведения в n-нную степень множителя, стоящего перед знаком корня, и последующей его записью в подкоренном выражении, например: a⋅n√b=n√b⋅an(1).
Использование операции внесения числа под знак корня возможно благодаря следующему свойству корня:
При извлечении корня из произведения можно сначала извлечь его из каждого из множителей и затем перемножить полученные значения:
n√xyz=n√x⋅n√y⋅n√z
Так как равенство соблюдается всегда в обе стороны, вышеизложенное свойство можно использовать для внесения множителя под знак корня.
Соответственно, для того чтобы воспользоваться правилом (1) в случае если подкоренное выражение является суммой, необходимо возвести в степень корня множитель, стоящий перед радикалом, и затем домножить множитель в степени на каждое из слагаемых:
x⋅n√z+y=n√zxn+yxn
Если же подкоренное выражение является произведением, то при занесении множителя под знак корня вносимый множитель после возведения в степень корня можно поставить на любое место:
x⋅n√z⋅y=n√z⋅y⋅xn=n√xn⋅z⋅y
Внесите множитель под знак корня в следующих выражениях:
333√2;b2a3√7;a34√15;34√x2+y2.
- 333√2=3√⋅3√2=3√27⋅2=3√54.
- b2a3√7=√b4√a6√7=√7b4a6.
- a34√15=4√a124√15=4√a125
- 34√x2+y2=4√2434√x2+y2=4√243⋅(x2+y2)