Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Одночлены: понятие, действия с одночленами

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Степень с натуральным показателем / Одночлены: понятие, действия с одночленами
Одночлены: понятие, действия с одночленами

Понятие одночлена: основной урок алгебры

Определение 1

Одночленом могут называться числа, переменные, их степени и произведения: $3xy^3$.

Стандартный вид одночлена - запись одночлена в виде произведения числа и натуральных степеней переменных, входящих в одночлен.

Коэффициент одночлена - число, записанное слева в стандартной записи одночлена: $-xzy^2$. Отметим, что здесь хоть и не написано числа, но подразумевается, что числовой коэффициент равен $-1$.

Чаще всего в стандартной записи одночлена переменные располагают в алфавитном порядке.

Определение 2

Степень одночлена - сумма всех степеней переменных, входящих в одночлен.

Пример: $xy^2z^5$. Степень одночлена равна $1+2+5=8$.

Заметим, что если в одночлен не входят переменные, (то есть одночлен - число, отличное от нуля), то говорят, что степень одночлена равна нулю.

Если одночлен представляет собой само число 0, то тогда говорят, что степень одночлена не определена.

Действие над одночленами и приведение одночлена к стандартному виду

Одночлены можно складывать друг с другом и вычитать друг из друга. Поясним на примерах.

Пример 1

Сложим одночлены ${3ab}^5,\ {6b}^6,{13ab}^5$

Запишем вначале сумму:

${(3ab}^5)+\left(\ {6b}^6\right)+({13ab}^5) $

Раскроем скобки:

${3ab}^5+\ {6b}^6+{13ab}^5$

Приведем подобные слагаемые, в результате получим:

${16ab}^5+\ {6b}^6$

Пример 2

Вычтем из одночлена ${6b}^6$ одночлен ${-12b}^6$

Запишем вначале разность:

$\left(\ {6b}^6\right)-({-12b}^6) $

Раскроем скобки:

${6b}^6+{12b}^6$

Приведем подобные слагаемые, в результате получим:

${18b}^6$

Как мы видим, результатом сложения и вычитания может быть как одночлен, так и многочлен.

Умножение. Результатом перемножения одночленов всегда получается одночлен. Одночлены перемножаются по следующей схеме:

  • составляется произведение.
  • раскрываются скобки.
  • группируются числа с числами, одинаковые переменные друг с другом.
  • перемножаются числа и складываются степени соответствующих одинаковых переменных.
Пример 3

Умножим $3xzy^2$ и $5xz^3$

Составим произведение:

$\left(3xzy^2\right)\cdot (5xz^3)$

Раскроем скобки и сгруппируем числа и переменные:

$3\cdot 5xxz^3zy^2$

Перемножим, получим:

$15x^2y^2z^4$

Еще одна операция - возведение в степень. Так как по определению, чтобы возвести число в натуральную степень, необходимо умножить это число столько раз само на себя, какой показатель степени и множитель имеется. По такому же принципу перемножаются и одночлены.

Пример 4

Возвести одночлен ${3ab}^5$ в третью степень.

${\left({3ab}^5\right)}^3={3ab}^5\cdot {3ab}^5\cdot {3ab}^5=3\cdot 3\cdot {3a{a{ab}^5b}^5b}^5=27{a^3b}^{15}$

Последняя операция - деление одночлена на одночлен. Результатом такого деления часто выступает рациональная дробь и только иногда получается одночлен. Для выполнения деления одночленов записывается дробь и, при возможности, проводится сокращение.

Пример 5

Разделим одночлен $27{a^3b}^{15}$ на одночлен $9{ab}^{13}$

Запишем дробь:

$\frac{27{a^3b}^{15}}{9{ab}^{13}}$

Сократим, получим:

$\frac{27{a^3b}^{15}}{9{ab}^{13}}=3a^2b^2$

Пример задачи на действия над одночленами

Пример 6

Задача.

Даны два одночлена $15x^2y^2z^4$ и $3xy^2z^2$.

  1. Найти степени обоих одночленов
  2. Сложите эти одночлены.
  3. Вычтите из первого одночлена второй.
  4. Возведите второй одночлен в квадрат.
  5. Перемножить одночлены.
  6. Разделите первый одночлен на второй.

Решение:

Степень первого одночлена: $2+2+4=8$

Степень второго одночлена: $1+2+2=5$

$\left(15x^2y^2z^4\right)+\left(3xy^2z^2\right)=15x^2y^2z^4+3xy^2z^2$

$\left(15x^2y^2z^4\right)-\left(3xy^2z^2\right)=15x^2y^2z^4-3xy^2z^2$

${\left(3xy^2z^2\right)}^2=9x^2y^4z^4$

$\left(15x^2y^2z^4\right)\left(3xy^2z^2\right)=45x^3y^4z^6$

$\frac{15x^2y^2z^4}{3xy^2z^2}=5xz^2$