Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Точность оценки, доверительный интервал

8-800-775-03-30 support@author24.ru

Оценки, надежность

Чаще всего оценки делятся на два вида: точечная оценка и интервальная оценка.

Определение 1

Точечная оценка -- оценка, которая определяется одним числом.

В математической статистике, при оценке различных совокупностей чаще сего используется интервальная оценка.

Определение 2

Интервальная оценка -- оценка, которая определяется двумя числами, которые являются концами интервала.

Для понятия интервальной оценки используются параметры точности и надежности оценки.

Определение 3

Точность оценки -- положительное число $\delta >0$, характеризующие величину расхождения между оценками выборки и генеральной совокупности, а именно:

\[\left|Q-Q^*\right|1.\]

Помощь со студенческой работой на тему
Точность оценки, доверительный интервал

Определение 4

Надежность или доверительная вероятность оценки $Q\ по\ Q^*$ - вероятность $\gamma $, удовлетворяющее равенству:

\[P\left(Q^*-\delta

Чаще всего надежность имеет значения $0,95,\ 0,99\ и\ 0,999$, то есть значения, близкие к единице.

Доверительный интервал

Определение 5

Доверительный интервал -- интервал $(Q^*-\delta ,Q^*+\delta )$, который покрывает неизвестную величину $Q$ c надежностью $\gamma $, то есть $Q^*-\delta

Понятие доверительного интервала существует для оценки многих параметров выборки: математического ожидания, среднего квадратического отклонения, дисперсии

В данной статье мы не будем вдаваться в подробности вывода формул для нахождения доверительных интервалов.

  • Доверительный интервал для оценки математического ожидания при заданном среднем квадратическом отклонении $\sigma $.
\[\left(\overline{x}-\frac{\sigma t}{\sqrt{n}};\overline{x}+\frac{\sigma t}{\sqrt{n}}\right)\]

где $t$ находится из равенства $2Ф\left(t\right)=\gamma $.

  • Доверительный интервал для оценки математического ожидания при неизвестном среднем квадратическом отклонении $\sigma $.
\[\left(\overline{x}-\frac{St}{\sqrt{n}},\overline{x}+\frac{St}{\sqrt{n}}\right)\]
  • Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения.
\[\left(S\left(1-q\right),S\left(1+q\right)\right),\ при\ q1.\]
  • Доверительный интервал для оценки дисперсии.
\[\left(S^2\left(1-q\right),S^2\left(1+q\right)\right),\ при\ q1.\]

В последних двух пунктах $q$ имеет табличное значение (таблица 1).

Значения величины $q$.

Рисунок 1. Значения величины $q$.

Пример задачи на нахождения доверительных интервалов

Пример 1

Пусть величина $X$ имеет нормальное распределение с дисперсией $\sigma =2$ и исправленным среднем квадратическим отклонением $S=1,8$. Пусть объем выборки $n=25$, а надежность равна $\gamma =0,99$.

Найти:1) доверительный интервал для оценки математического ожидания.

2) доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения.

3) доверительный интервал для оценки дисперсии.

Решение:

1) Для нахождения доверительного интервала для оценки математического ожидания необходимо найти интервал вида

\[\left(\overline{x}-\frac{\sigma t}{\sqrt{n}};\overline{x}+\frac{\sigma t}{\sqrt{n}}\right)\]

Параметр $t$ найдем из формулы

\[2Ф\left(t\right)=\gamma \]

Откуда

\[Ф\left(t\right)=\frac{\gamma }{2}=\frac{0,99}{2}=0,495\]

Из таблицы значений функции Лапласа получим, что $t=2,6$.

Имеем интервал:

\[\left(\overline{x}-\frac{4,6}{\sqrt{25}};\overline{x}+\frac{4,6}{\sqrt{25}}\right)=\left(\overline{x}-0,92;\overline{x}+0,92\right)\]

2) Для начала найдем значение величины $q$. Так как $n=25$ и $\gamma =0,99$, то из таблицы 1, получим, что $q=0,49$.

Видим, что $q \[\left(S\left(1-q\right),S\left(1+q\right)\right)\] \[\left(1,8\cdot 0,51;1,8\cdot 1,49\right)=(0,918;2,682)\]

3) Так как, как было показано в пункте 2, $q \[\left(S^2\left(1-q\right),S^2\left(1+q\right)\right)\]

\end{enumerate}

Получим:

\[\left(1,6524;4,8276\right)\]
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис