Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Доверительные интервалы для оценки математического ожидания

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Статистические оценки параметров распределения / Доверительные интервалы для оценки математического ожидания
Доверительные интервалы для оценки математического ожидания

Доверительный интеграл для оценки математического ожидания при известном ${\mathbf \sigma }$

Для начала напомним следующее определение:

Определение 1

Доверительный интервал -- интервал $(Q^*-\delta ,Q^*+\delta )$, который покрывает неизвестную величину $Q$ c надежностью $\gamma $.

Будем рассматривать следующую ситуацию. Пусть варианты генеральной совокупности имеет нормальное распределение с математическим ожиданием $a$ и среднем квадратическим отклонением $\sigma $. Выборочное среднее в данном случае будет рассматриваться как случайная величина. Когда величина $X$ распределена нормально, выборочное среднее будет также иметь нормальное распределение с параметрами

Найдем доверительный интервал, который покрывает величину $a$ с надежностью $\gamma $.

Для этого нам необходимо, чтобы выполнялось равенство

Из нее получим

Отсюда мы можем легко найти $t$ по таблицы значений функции $Ф\left(t\right)$ и, как следствие, найти $\delta $.

Напомним таблицу значений функции $Ф\left(t\right)$:

Таблица значений функции $Ф\left(t\right).$

Рисунок 1. Таблица значений функции $Ф\left(t\right).$

Доверительный интеграл для оценки математического ожидания при неизвестном ${\mathbf \sigma }$

В этом случае мы будем пользоваться значением исправленной дисперсии $S^2$. Заменяя в выше выведенной формуле $\sigma $ на $S$, получим:

Пример задач на нахождение доверительного интервала

Пример 1

Пусть величина $X$ имеет нормальное распределение с дисперсией $\sigma =4$. Пусть объем выборки $n=64$, а надежность равна $\gamma =0,95$. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания данного распределения.

Решение:

Нам необходимо найти интервал ($\overline{x}-\delta ,\overline{x}+\delta )$.

Как мы видели выше

\[\delta =\frac{\sigma t}{\sqrt{n}}=\frac{4t}{\sqrt{64}}=\frac{\ t}{2}\]

Параметр $t$ найдем из формулы

\[2Ф\left(t\right)=\gamma \]

Откуда

\[Ф\left(t\right)=\frac{\gamma }{2}=\frac{0,95}{2}=0,475\]

Из таблицы 1 получаем, что $t=1,96$.

Получаем:

\[\delta =\frac{1,96}{2}=0,98\]

Ответ: ($\overline{x}-0,98,\overline{x}+0,98)$.

Пример 2

Пусть выборка имеет точность $\delta =0,6$ и надежность $\gamma =0,95$. При этом величина $X$ имеет нормальное распределение с $\sigma =2,4$. Найти минимальный объем выборки.

Решение.

Из формулы $\delta =\frac{\sigma t}{\sqrt{n}}$, имеем

\[n={\left(\frac{\sigma t}{\delta }\right)}^2\]

Как известно, $Ф\left(t\right)=\frac{\gamma }{2}=0,475.$ Тогда из таблицы 1, получаем, что $t=1,96$.

Итого:

\[n={\left(\frac{\sigma t}{\delta }\right)}^2={\left(\frac{4,704}{0,6}\right)}^2\approx 62\]

Ответ: 62.