Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Статистические оценки параметров распределения / Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения
Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения

Для начала напомним следующее определение:

Определение 1

Доверительный интервал -- интервал $(Q^*-\delta ,Q^*+\delta )$, который покрывает неизвестную величину $Q$ c надежностью $\gamma $.

Пусть нам дано исправленное среднее квадратическое отклонение $S$. Оценим неизвестное генеральное среднее квадратическое отклонение, то есть найдем доверительный интервал, который покрывает величину $\sigma $.

Для этого нам необходимо, чтобы выполнялось равенство

Отметим, что так как среднее квадратическое отклонение больше нуля, то при $q>1$ доверительный интервал будет иметь вид:

Величина $q$ имеет табличные значения:

Таблица значений величины $q$.

Рисунок 1. Таблица значений величины $q$.

Готовые работы на аналогичную тему

Доверительный интеграл для оценки дисперсии

С понятием среднего квадратического отклонения тесно связано понятие дисперсии.

Пусть нам дано исправленная дисперсия. Оценим неизвестное генеральную дисперсию, то есть найдем доверительный интервал, который покрывает величину $D$.

Так как среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню от дисперсии, то исправленная дисперсия равна квадрату исправленного среднего квадратического отклонения $S^2.$

Таким образом, получим, что доверительный интервал имеет вид:

Отметим, что так как среднее квадратическое отклонение больше нуля, то при $q>1$ доверительный интервал будет иметь вид:

Пример задач на нахождение доверительного интервала

Пример 1

Пусть выборка имеет исправленное среднее квадратическое отклонение $S=0,4$. Пусть объем выборки $n=60$, а надежности равна $\gamma =0,95$. Найти доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения данного распределения.

Решение:

Для начала найдем величину $q$ из таблицы 1. Так как, по условию задачи, $n=60$ и $\gamma =0,95$, то получим, что $q=0,188$.

Видим, что $q \[\left(S\left(1-q\right),S\left(1+q\right)\right)\] \[\left(0,4\cdot 0,812;0,4\cdot 1,188\right)=(0,3248;0,4752)\]

Ответ: $(0,3248;0,4752)$.

Пример 2

Пусть выборка имеет исправленное среднее квадратическое отклонение $S=0,9$. Пусть объем выборки $n=10$, а надежности равна $\gamma =0,999$. Найти доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения данного распределения.

Решение:

Для начала найдем величину $q$ из таблицы 1. Так как, по условию задачи, $n=10$ и $\gamma =0,999$, то получим, что $q=1,8$.

Видим, что $q \[\left(0;S\left(1+q\right)\right)\] \[\left(0;0,9\cdot 2,8\right)=(0;;2,52)\]

Ответ: $(0;2,52)$.

Пример 3

Пусть выборка имеет исправленное среднее квадратическое отклонение $S=0,3$. Пусть объем выборки $n=30$, а надежности равна $\gamma =0,99$. Найти доверительный интервал для дисперсии данного распределения.

Решение:

Для начала найдем величину $q$ из таблицы 1. Так как, по условию задачи, $n=30$ и $\gamma =0,99$, то получим, что $q=0,43$.

Видим, что $q \[\left(S^2\left(1-q\right),S^2\left(1+q\right)\right)\] \[\left(0,09\cdot 0,57;0,09\cdot 1,43\right)=(0,0513;0,1287)\]

Ответ: $(0,0513;0,1287)$.