Метод интегрирования по частям

Для того чтобы понять, как осуществляется интегрирование по частям, для начала необходимо вспомнить правило дифференцирования произведения.

Пусть даны две функции от $x$, $u=f(x)$ и $v=g(x)$, каждая из которых имеет производную: $u’=f’(x)$ и $v’=g’(x)$.

Тогда, если рассмотреть произведение этих функций, по правилу дифференцирования для произведения получается:

$d(uv)= u \cdot dv + v \cdot du$;

Иначе это можно записать как $udv=d(uv) – v \cdot du$. Выразим первообразную от $udv$:

$\int udv=uv-\int vdu\left(1\right)$.

Эта формула позволяет вместо вычисления подынтегрального значения выражения $u\cdot dv= u \cdot v’dx$ осуществлять вычисление неопределённого интеграла от выражения $v \cdot du = vu’dx$, что обычно проще.

При проведении интегрирования по частям несколько раз, полезна также формула для обобщённого метода интегрирования по частям.

Она может применяться только если рассматриваемые функции $u$ и $v$ имеют производные всех порядков, включая $(n+1)$.

Проведём замену в равенстве $(1)$ $v$ на $v^{(n)}$, в результате получим:

$\int u \cdot v^{(n+1)}dx=\int u \cdot dv^{(n)}=u \cdot v^{(n)} - \int v^{(n)} du=u \cdot v^{(n)} - \int u’ \cdot v^{(n)}dx$.

Теперь для $\int u’ \cdot v^{(n)}dx$:

$\int u’ \cdot v^{(n)}dx=u’v^{(n-1)}- \int u’’\cdot v^{(n-1)}dx$ и так далее.

После умножения этих равенств по очереди на $+1$ и $-1$ и упрощения, получается формула обобщённого интегрирования по частям:

$\int u \cdot v^{(n+1)}dx=uv^{(n)} – u’v^{(n-1)} + u’’v^{(n+1)}-...+(-1)^nu^{(n)}v+(-1)^{n+1} \cdot \int u^{(n+1)}vdx$

Разберём с вами подробный пример решения интеграла.