Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Метод интегрирования по частям

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Все предметы / Математика / Метод интегрирования по частям

Для того чтобы понять, как осуществляется интегрирование по частям, для начала необходимо вспомнить правило дифференцирования произведения.

Пусть даны две функции от $x$, $u=f(x)$ и $v=g(x)$, каждая из которых имеет производную: $u’=f’(x)$ и $v’=g’(x)$.

Тогда, если рассмотреть произведение этих функций, по правилу дифференцирования для произведения получается:

$d(uv)= u \cdot dv + v \cdot du$;

Иначе это можно записать как $udv=d(uv) – v \cdot du$. Выразим первообразную от $udv$:

$\int udv=uv-\int vdu\left(1\right)$.

Замечание 1

Приведённая формула $(1)$ объясняет, как брать интеграл по частям, а всё, что нужно для её использования — это таблица элементарных интегралов.

Эта формула позволяет вместо вычисления подынтегрального значения выражения $u\cdot dv= u \cdot v’dx$ осуществлять вычисление неопределённого интеграла от выражения $v \cdot du = vu’dx$, что обычно проще.

Помощь со студенческой работой на тему
Метод интегрирования по частям

При проведении интегрирования по частям несколько раз, полезна также формула для обобщённого метода интегрирования по частям.

Она может применяться только если рассматриваемые функции $u$ и $v$ имеют производные всех порядков, включая $(n+1)$.

Проведём замену в равенстве $(1)$ $v$ на $v^{(n)}$, в результате получим:

$\int u \cdot v^{(n+1)}dx=\int u \cdot dv^{(n)}=u \cdot v^{(n)} - \int v^{(n)} du=u \cdot v^{(n)} - \int u’ \cdot v^{(n)}dx$.

Теперь для $\int u’ \cdot v^{(n)}dx$:

$\int u’ \cdot v^{(n)}dx=u’v^{(n-1)}- \int u’’\cdot v^{(n-1)}dx$ и так далее.

После умножения этих равенств по очереди на $+1$ и $-1$ и упрощения, получается формула обобщённого интегрирования по частям:

$\int u \cdot v^{(n+1)}dx=uv^{(n)} – u’v^{(n-1)} + u’’v^{(n+1)}-...+(-1)^nu^{(n)}v+(-1)^{n+1} \cdot \int u^{(n+1)}vdx$

Замечание 2

Данная формула очень удобна если под знаком интеграла присутствует умножение на какой-либо многочлен.

Разберём с вами подробный пример решения интеграла.

Пример 1

Найти первообразную от функции $x^4 \ln x$.

Решение:

Пусть $\ln x= u$, a $dv=x^4dx$, тогда получается, что $du=\frac{dx}{x}, v=\frac{1}{5} x^5$.

Получаем:

$\int x^4 \ln x dx = \frac{1}{5} x^5 \ln x - \frac{1}{5} \int x^4 dx = \frac{1}{5} x^5 ln x - \frac{1}{25} x^5 + c$.

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис