Исследование методов идентификации в условиях действия автокоррелированной помехи на выходе

Методы идентификации в условиях действия автокоррелированной помехи на выходе. Метод ковариаций

Самыми важными факторами, которые оказывают решающею роль на качество идентификации (теория автоматического управления), являются учет и компенсация действия помех. Большинство традиционных методов идентификации, использующие для идентификации частотные, временные и спектральные характеристики объектов, неэффективны в случае наличия выходной помехи, поэтому для решения таких задач применяются специальные методы. Одним из таких методов являются метод максимального правдоподобия и метод наименьших квадратов. Данные методы дают наилучшие оценки при предположении, что аддитивный шум, который действует на выходе системы - либо отсутствует, либо является нормальным «белым шумом». Когда помеха является коррелированным во времени случайным сигналом, то необходимо создать такие методы, которые обеспечивают несмещенность оценок параметров. Для этого могут использоваться обобщенный метод наименьших квадратов, метод инструментальной переменной и расширенный матричный метод.

При исследованиях методов идентификации, как правило необходимо получить ответы на следующие вопросы:

• являются ли какие-либо методы идентификации лучше других;
• что такое наилучшая оценка параметров;
• что должно происходить при повторении эксперимента;
• насколько хорошо идентифицированная модель описывает реальную систему.

В соответствии с центральной предельной теоремой, оценки, которые получают при использовании большинства методов идентификации распределяются асимптотически нормально, то есть характеризуются двумя параметрами - дисперсией и математическим ожиданием. Существуют следующие основные свойства оценок:

1. Оценка является несмещенной, если ее математическое ожидание равняется оцениваемому параметру.
2. Оценка является состоятельной, если при увеличении объема выборки оценка сходится по вероятности.
3. На практике, для решения проблемы диагностики - насколько полученная оценка точна, применяются два подхода:
4. Вычисление ковариаций оценки.
5. Построение доверительных интервалов для обеспечения надежности.

По результатам определенного количества экспериментов выборочное среднее и ковариации оценок рассчитываются следующим образом:

Рисунок 1.

Рисунок 2.

Методы максимального правдоподобия и инструментальных переменных

Метод максимального правдоподобия основан на предположении, что любая информация в статической выборке содержится в функции правдоподобия. Данный метод является популярным статистическим методом, использующимся для создания статистической модели на основе данных, а также обеспечения оценки параметров модели. Для базовой вероятностной модели и фиксированного набора данных, применяя метод максимального правдоподобия получают значения параметров модели, которые делают более «близкими» к реальным. Оценка метода максимального правдоподобия предоставляет простой и уникальный способ определения решения при нормальном распределении. Такой метод может использоваться для следующих видов моделей:

1. Факторный анализ.
2. Дискретные модели выбора.
3. Линейные модели.
4. Моделирование структурных уравнений.

Факторный анализ - многомерный способ, который используется для изучения взаимосвязей между значениями переменных.

Метод инструментальных переменных основан на использовании дополнительных инструментальных переменных, которые не участвуют в модели. Данный метод применяется тогда, когда факторы регрессионной модели не удовлетворяют условию экзогенности, то есть являются зависимыми со случайными ошибками. В этом случае оценки, полученные в результате метода наименьших квадратов, являются несостоятельными и смещенными.