Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Генеральная и выборочная совокупности, выборки

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Все предметы / Математика / Элементы математической статистики / Генеральная и выборочная совокупности, выборки

Основные определения

Понятие выборки используется, когда надо изучить какие-либо свойства совокупности объектов. Свойства объектов можно разделить на качественные и количественные.

Пример 1

Пусть нам необходимо изучить совокупность партии сметаны. Тогда качественным признаком может служить срок её годности, а количественным процент содержания жиров в данной сметане.

Совокупность или выборка может быть разделена на генеральную и выборочную.

Определение 1

Генеральная совокупность -- совокупность случайно отобранных объектов данного вида, над которыми проводят наблюдения с целью получения конкретных значений случайной величины, проводимых в неизменных условиях при изучении одной случайной величины данного вида.

Помощь со студенческой работой на тему
Генеральная и выборочная совокупности, выборки

Определение 2

Выборочная совокупность -- часть отобранных объектов из генеральной совокупности.

С понятием совокупности также связано понятие объема данной совокупности.

Определение 3

Объем совокупности -- число объектов этой совокупности.

Понятие объема совокупности относится и к выборочной, и к генеральной совокупности.

Пример 2

Пусть из партии 100 пачек масла для исследования выбрано 10 пачек. Тогда объем генеральной совокупности $N=100$, а объем выборки $n=10$.

Примечание 1

Исходя из первых двух определений, очевидно, что всегда выполняется неравенство $N>n$

Помимо этих двух совокупностей выделяют также репрезентативную или представительную выборку.

Определение 4

Репрезентативная (представительная) выборка -- выборка, в которой все объекты выбраны случайно и генеральной совокупности, то есть каждый объект генеральной совокупности имеет одинаковую вероятность попасть в выборку.

Выборка также может быть повторной и бесповторной.

Определение 5

Повторная выборка -- выборка, при которой выбранный объект возвращается обратно в генеральную совокупность перед выбором следующего объекта для исследования.

Определение 6

Бесповторная выборка -- выборка, при которой объект не возвращается обратно в генеральную совокупность перед выбором очередного объекта для исследования.

Способы отбора

Рассмотрим теперь различные способы отбора (схема 1).

Способы отбора.

Рисунок 1. Способы отбора.

Разберемся теперь с каждым понятием по отдельности.

Определение 7

Простой случайный бесповторный отбор -- отбор, при котором объекты из генеральной совокупности выбираются по одному и не возвращаются обратно в генеральную совокупность.

Определение 8

Простой случайный повторный отбор -- отбор, при котором объекты из генеральной совокупности выбираются по одному и возвращаются обратно в генеральную совокупность.

Определение 9

Типический отбор -- отбор, при котором выборка производится не из всей генеральной совокупности, а из каждой его части по отдельности.

Пример 3

К примеру, если сметана произведена на трех разных заводах, то выборка делается по каждому заводу отдельно.

Определение 10

Механический отбор -- отбор, при котором генеральная совокупность делится на такое количество групп сколько объектов для исследования необходимо выбрать.

Пример 4

Пусть из партии 100 пачек масла нужно для исследования отобрать $10\%$. Тогда выбирается по одной пачке из каждых 10 пачек масла.

!!! Отметим, что при таком отборе выборка не всегда получается репрезентативной.

Определение 11

Серийный отбор -- отбор, при котором выборка происходит из генеральной совокупности не по одному, а сериями.

!!! На практике часто применяется комбинированный отбор, при котором используются сразу несколько видов отборов, перечисленных выше.

Формулы, связанные с понятием выборки

Введем несколько формул:

  1. Генеральная средняя при повторной выборке:

Отметим, что $\sum{N_i}=N$

  1. Генеральная средняя при бесповторной выборке:
  1. Выборочная средняя при повторной выборке:

Отметим, что $\sum{n_i}=n$

  1. Выборочная средняя при бесповторной выборке:
  1. Ошибка репрезентативности:

Пример задачи на нахождение ошибки репрезентативности

Пример 5

Пусть в магазине 20 видов глазированных сырков. Средняя цена 1 вида сырка составляет 10,4 рублей. Сырков с начинкой из этих видов составляет $25\%$ и средняя цена каждого вида с начинкой равняется 11 рублей. Найти ошибку репрезентативности данной выборки.

Решение:

Ошибка репрезентативности:

\[\triangle =\overline{x}-\overline{X}\]

10,4 -- это генеральная средняя величина, то есть $\overline{X}=10,4$.

Так как сырки с начинкой составляют $25\%$, то сырков с начинкой$20\cdot 0,25=5$ видов.

Тогда выборочная средняя $\overline{x}=11$.

Получаем:

\[\triangle =\overline{x}-\overline{X}=11-10,4=0,6\]

Ответ: 0,6.

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис