Тригонометрические уравнения
Тригонометрические уравнения вида cosx=C, sinx=C, tgx=C, ctgx=C относятся к простейшим.
Методы решения простейших тригонометрических уравнений известны и они являются основой для решения более сложных тригонометрических уравнений. Существует ряд подходов для решения более сложных тригонометрических уравнений:
а) с помощью алгебраических преобразований или тригонометрических формул некоторые уравнения могут быть сведены к простейшим тригонометрическим уравнениям;
б) если тригонометрическое уравнение содержит только одну какую-либо тригонометрическую функцию с одним и тем же аргументом, то вводят для неё некоторое обозначение в виде новой переменной и получают алгебраическое уравнение относительно этой переменной;
в) используя тригонометрические формулы, часто удается привести тригонометрическое уравнение к одной какой-либо тригонометрической функции с одним и тем же аргументом, после чего остается применить замену переменных;
г) иногда уравнение удается разложить на несколько сомножителей;
д) тригонометрические уравнения вида a⋅sinx+b⋅cosx=0, где a≠0, b≠0, называются однородными; для них также существуют специфические методы решения.
Уравнения cosx=C, sinx=C, tgx=C
Таблица вариантов решений уравнения sinx=C:
Рисунок 1.
Решить уравнение sin(x+π8)=−√22.
\[\left|-\frac{\sqrt{2} }{2} \right|Таблица вариантов решений уравнения cosx=C:
Рисунок 2.
Решить уравнение cos(3⋅x)=0.
3⋅x=π2+π⋅k;x=π6+π3⋅k;k∈Z.Решение уравнений tgx=C, ctgx=C.
Множество решений уравнения tgx=C имеет следующий вид: x=arctgC+π⋅k, k∈Z.
Решить уравнение tg(2⋅x)=√3.
2⋅x=arctg√3+π⋅k;2⋅x=π3+π⋅k;x=π6+π2⋅k;k∈Z.Множество решений уравнения ctgx=C имеет следующий вид: x=arcctgC+π⋅k, k∈Z.
Решить уравнение ctg(x+π3)=−1√3√3.
x+π3=arcAtg(−1√3)+π⋅k;x=−π3+2⋅π3+π⋅k;x=π3+π⋅k;k∈Z.Решить уравнение 4⋅√3⋅tg(−x3)−4=0.
С помощью алгебраических преобразований получим простейшее тригонометрическое уравнение.
Поскольку tg(−x3)=−tgx3, то имеем:
−4⋅√3⋅tgx3−4=0;√3⋅tgx3+1=0;tgx3=−1√3;Решить уравнение cos2(4⋅x)−sin2(4⋅x)=√32.
С помощью алгебраических преобразований и тригонометрических формул получим простейшее тригонометрическое уравнение.
В левой части уравнения используем формулу двойного угла и получаем: cos(8⋅x)=√32. Отсюда следует: 8⋅x=±arccos√32+2⋅π⋅k; 8⋅x=±π6+2⋅π⋅k; x=±π48+14⋅π⋅k; k∈Z.
Решить уравнение sin(4⋅x)⋅cosx−cos(4⋅x)⋅sinx=−1.
С помощью алгебраических преобразований получим простейшее тригонометрическое уравнение.
Преобразуем левую часть уравнения: sin(4⋅x−x)=−1. Отсюда получаем: sin(3⋅x)=−1; 3⋅x=−π2+2⋅π⋅k; x=−π6+23⋅π⋅k; k∈Z.
Решить уравнение sin2x−4⋅sinx+3=0.
В данной задаче используем замену.
Обозначаем sinx=z, |z|≤1. Получаем квадратное уравнение z2−4⋅z+3=0, корни которого z1=1, z2=3. Поскольку |z|≤1, то подходит только корень z1=1.
Получаем: sinx=1; x=π2+2⋅π⋅k; k∈Z.