Processing math: 100%
Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения вида cosx=C, sinx=C, tgx=C, ctgx=C относятся к простейшим.

Методы решения простейших тригонометрических уравнений известны и они являются основой для решения более сложных тригонометрических уравнений. Существует ряд подходов для решения более сложных тригонометрических уравнений:

а) с помощью алгебраических преобразований или тригонометрических формул некоторые уравнения могут быть сведены к простейшим тригонометрическим уравнениям;

б) если тригонометрическое уравнение содержит только одну какую-либо тригонометрическую функцию с одним и тем же аргументом, то вводят для неё некоторое обозначение в виде новой переменной и получают алгебраическое уравнение относительно этой переменной;

в) используя тригонометрические формулы, часто удается привести тригонометрическое уравнение к одной какой-либо тригонометрической функции с одним и тем же аргументом, после чего остается применить замену переменных;

г) иногда уравнение удается разложить на несколько сомножителей;

д) тригонометрические уравнения вида asinx+bcosx=0, где a0, b0, называются однородными; для них также существуют специфические методы решения.

Уравнения cosx=C, sinx=C, tgx=C

Таблица вариантов решений уравнения sinx=C:



Рисунок 1.

Пример 1

Решить уравнение sin(x+π8)=22.

\[\left|-\frac{\sqrt{2} }{2} \right|Таблица вариантов решений уравнения cosx=C:



Рисунок 2.

Пример 2

Решить уравнение cos(3x)=0.

3x=π2+πk;x=π6+π3k;kZ.

Решение уравнений tgx=C, ctgx=C.

Множество решений уравнения tgx=C имеет следующий вид: x=arctgC+πk, kZ.

«Тригонометрические уравнения» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ
Пример 3

Решить уравнение tg(2x)=3.

2x=arctg3+πk;2x=π3+πk;x=π6+π2k;kZ.

Множество решений уравнения ctgx=C имеет следующий вид: x=arcctgC+πk, kZ.

Пример 4

Решить уравнение ctg(x+π3)=133.

x+π3=arcAtg(13)+πk;x=π3+2π3+πk;x=π3+πk;kZ.
Пример 5

Решить уравнение 43tg(x3)4=0.

С помощью алгебраических преобразований получим простейшее тригонометрическое уравнение.

Поскольку tg(x3)=tgx3, то имеем:

43tgx34=0;3tgx3+1=0;tgx3=13;
x3=arctg(13)+πk;x3=π6+πk;x=π2+3πk;kZ.
Пример 6

Решить уравнение cos2(4x)sin2(4x)=32.

С помощью алгебраических преобразований и тригонометрических формул получим простейшее тригонометрическое уравнение.

В левой части уравнения используем формулу двойного угла и получаем: cos(8x)=32. Отсюда следует: 8x=±arccos32+2πk; 8x=±π6+2πk; x=±π48+14πk; kZ.

Пример 7

Решить уравнение sin(4x)cosxcos(4x)sinx=1.

С помощью алгебраических преобразований получим простейшее тригонометрическое уравнение.

Преобразуем левую часть уравнения: sin(4xx)=1. Отсюда получаем: sin(3x)=1; 3x=π2+2πk; x=π6+23πk; kZ.

Пример 8

Решить уравнение sin2x4sinx+3=0.

В данной задаче используем замену.

Обозначаем sinx=z, |z|1. Получаем квадратное уравнение z24z+3=0, корни которого z1=1, z2=3. Поскольку |z|1, то подходит только корень z1=1.

Получаем: sinx=1; x=π2+2πk; kZ.

Дата последнего обновления статьи: 02.03.2024
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Тригонометрические уравнения"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant