Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Уравнения и неравенства с параметрами

Все предметы / Математика / Показательная функция / Уравнения и неравенства с параметрами

Здесь мы будем рассматривать уравнения и неравенства с параметрами на конкретных примерах.

Уравнения с параметрами. Линейное уравнение

Пример 1

Решить уравнение относительно $a$: $x-a=2x+3a-1$

Видим, что это линейное уравнение, то есть оно всегда имеет один корень. Будем рассматривать параметр $a$ как число.

\[x-2x=3a+a-1\] \[x=1-4a\]

Ответ: $x=1-4a$ при любом значении параметра $a$.

Уравнение с модулем

Пример 2

Решить уравнение $\left|3-2x\right|=2a-1$

Так как с правой стороны у нас стоит модуль, то $2a-1$ должно быть больше или равно нулю. Поэтому получаем три случая:

  1. $2a-1 >0,\ a >\frac{1}{2}$, тогда

    \[\left[ \begin{array}{c} {3-2x=2a-1,} \\ {3-2x=1-2a.} \end{array} \right.\] \[\left[ \begin{array}{c} {x=2-a,} \\ {x=a+1.} \end{array} \right.\]
  2. $2a-1=0,\ a=\frac{1}{2}$

    \[3-2x=0\] \[x=\frac{3}{2}\]
  3. $2a-1

Квадратные уравнения

Пример 3

При каком значении параметра $a$ уравнение имеет 2 корня?

\[x^2-ax+2a=0\]

Как мы знаем, квадратное уравнение имеет два корня, когда дискриминант больше нулю. Найдем дискриминант.

\[D=a^2-8a\] \[a^2-8a >0\] \[a=0,a=8\]

Методом интервалов получаем

Ответ: $\left(-\infty ,0\right)(8,+\infty )$

Тригонометрические уравнения

Пример 4

Решить уравнение $sinx=a-1$

Мы знаем, что $-1\le sinx\le 1$, поэтому имеет два случая:

  1. $-1\le a-1\le 1,\ a\in [0,2]$

    \[sinx=a-1,\] \[x=(-1)^n{arcsin \left(a-1\right)\ }+\pi n,n\in Z\]
  2. $a\in \left(-\infty ,0\right)\left(2,+\infty \right)-\ решений\ нет$.

Логарифмическое уравнение

Пример 5

Решить уравнение ${{log}_5 \left(a+1\right)x=2\ }$

Воспользовавшись определением логарифма, получим:

\[\left(a+1\right)x=25\] \[x=\frac{25}{a+1}\]

Получаем:

  1. При $a=-1-корней\ нет.$

  2. При $a\in \left(-\infty ,-1\right)(-1,+\infty )$ ответ $x=\frac{25}{a+1}$.

Готовые работы на аналогичную тему

Неравенства с параметрами. Линейное неравенство

Пример 6

Решить неравенство относительно $a$: $x-a

Будем рассматривать параметр $a$ как число.

\[x-2x1-4a\]

Ответ: $(1-4a,+\infty )$ при любом значении параметра $a$.

Неравенство с модулем

Пример 7

Решить уравнение $\left|3-2x\right| >2a-1$

Рассмотрим три случая:

  1. $2a-1 >0,\ a >\frac{1}{2}$, тогда

    \[\left[ \begin{array}{c} {3-2x >2a-1,} \\ {3-2x2a-4,} \\ {-2xa+1.} \end{array} \right.\]

    То есть $x\in \left(-\infty ,2-a\right)(a+1,+\infty )$

  2. $2a-1=0,\ a=\frac{1}{2}$

    \[\left|3-2x\right| >0\] \[x\ne \frac{3}{2}\]

    То есть $x\in \left(-\infty ,\frac{3}{2}\right)(\frac{3}{2},+\infty )$

  3. $2a-1

Квадратные неравенства

Пример 8

При каком значении параметра $a$ неравенство не имеет решений?

\[x^2-ax+2a\le 0\]

Так как ветви квадратного уравнения идут вверх, то неравенство не будет иметь решений, если график функции не будет пересекать ось $Ox$, то есть если уравнение $x^2-ax+2a\le 0$ не будет иметь решений. Значит необходимо найти такие значения параметра $a$, при которых дискриминант меньше $0$.

\[D=a^2-8a\] \[a^2-8aМетодом интервалов получаем

Ответ: $(0,8)$

Тригонометрические неравенства

Пример 9

Решить неравенство $cosx >a$

Здесь можно выделить три случая:

  1. $a\ge 1$, тогда, так как $-1\le cosx\le 1$, решений нет.

  2. $a

  3. $a\in [-1,1)$, тогда

\[x\in \left(-arccosa+2\pi n,arccosa+2\pi n\right),n\in Z\]

Показательное неравенство

Пример 10

Решить неравенство ${10}^x

Здесь можно выделить два случая:

  1. $a\le -2$ тогда, очевидно, решений нет. ( Так как ${10}^x >0$)

  2. $a >-2$, тогда $x

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Наталья Игоревна Восковская

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис