Свойства функции тангенса

Перед изучением функции тангенса и её свойств, вспомним понятие самого тангенса. Определение тангенса можно ввести двумя способами: с помощью прямоугольного треугольника и с помощью понятий синуса и косинуса.

Геометрический смысл

Рассмотрим тригонометрическую единичную окружность и прямую $x=1$. Ордината точки $B$ на прямой $x=1$ является тангенсом угла $\alpha$ (рис. 2).

Рисунок 3. Значение тангенса с помощью единичной окружности.

Поэтому, когда точка $B$ опишет вертикальную прямую $x=1$ её ордината примет все значения множества действительных чисел, откуда $tg\alpha$ -- вся числовая прямая. Поэтому прямая $x=1$ называется линией тангенсов.

Свойства функции $f(x)=tgx$

Рассмотрим теперь свойства функции $f\left(x\right)=tgx$.

1. По определению 2, получим, что область определения$x\in {\mathbb R}{\rm ,}{\rm \ }x\ne \frac{\pi }{2}+\pi n,\ n\in Z$.
2. Из геометрического смысла следует, что область значения -- все числа.
3. $f\left(-x\right)={tg \left(-x\right)\ }=-tgx=-f(x)$, следовательно, функция$f\left(x\right)=tgx$ нечетна.
4. $f\left(x+\pi \right)={tg \left(x+\pi \right)\ }=tgx=f(x)$, следовательно, функция$f\left(x\right)=tgx$ периодическая с минимальным периодом $\pi$.
5. Пересечение с осями координат:

При $x=0$, $f\left(0\right)=tg0=0$.

При $y=0$, $x=\pi n,n\in Z$.

1. Функция выше оси $Ox$ при $x\in (\pi n,\frac{\pi }{2}+\pi n),n\in Z$.
2. Функция ниже оси $Ox$ при $x\in (-\frac{\pi }{2}+\pi n,\frac{\pi }{2}+\pi n),n\in Z$.
3. $f'\left(x\right)={\left(tgx\right)}'=\frac{1}{{cos}^2x}$.

Функция $f\left(x\right)=tgx$ возрастает, при $x\in \left(-\frac{\pi }{2}+\pi n,\frac{\pi }{2}+\pi n\right)$.

1. Функция имеет точку разрыва второго рода при $x=\frac{\pi }{2}+\pi n,\ n\in Z$.

2. ${\mathop{lim}_{x\to \frac{\pi }{2}+\pi n-0} tgx\ }=-\infty$, ${\mathop{lim}_{x\to \frac{\pi }{2}+\pi n+0} tgx\ }=+\infty$,

График функции $y=tgx$

Графиком функции $y=tgx$ является тангенсоида (рис. 3).

Рисунок 4. Тангенсоида.

Задача на построение тангенсоиды