Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Свойства функции синуса

8-800-775-03-30 support@author24.ru

Понятие синуса

Перед изучением функции синуса и её свойств, вспомним понятие самого синуса. Определение синуса можно ввести двумя способами: с помощью прямоугольного треугольника и с помощью тригонометрической окружности.

Определение 1

Синусом острого угла называется отношение длины противолежащего катета к гипотенузе прямоугольного треугольника (рис 1):

\[cos\alpha =\frac{a}{c}\]

Прямоугольный треугольник.

Рисунок 1. Прямоугольный треугольник.

Определение 2

Синусом острого угла называется ордината единичной окружности, которая получается из точки $(1,\ 0)$ путем поворота на угол $\alpha $ радиан (рис. 2).

Значение синуса с помощью единичной окружности.

Рисунок 2. Значение синуса с помощью единичной окружности.

Готовые работы на аналогичную тему

Введем таблицу некоторых значений синуса (таблица 1).

Значения синуса.

Рисунок 3. Значения синуса.

Свойства функции $f(x)=sinx$

Рассмотрим теперь свойства функции $f\left(x\right)=sinx$.

  1. Область определения -- все числа.
  2. Так как по определению 2 значение синуса определяется с помощью единичной окружности, то область значения данной функции отрезок $[-1,\ 1]$.
  3. $f\left(-x\right)={sin \left(-x\right)\ }=-sinx=-f(x)$, следовательно, функция$f\left(x\right)=sinx$ нечетна.
  4. $f\left(x+2\pi \right)={sin \left(x+2\pi \right)\ }=sinx=f(x)$, следовательно, функция $f\left(x\right)=sinx$ периодическая с минимальным периодом $2\pi $.
  5. Пересечение с осями координат: При $x=0$, $f\left(0\right)=sin0=0$. При $y=0$, $x=\pi n,n\in Z$.
  6. Функция выше оси $Ox$ при $x\in (2\pi n,\pi +2\pi n),n\in Z$.
  7. Функция ниже оси $Ox$ при $x\in (-\pi +2\pi n,2\pi n),n\in Z$.
  8. $f' (x)=(sinx)'=cosx$.\[cosx=0\] \[x=\frac{\pi }{2}+\pi n,\ n\in Z\]

Функция $f\left(x\right)=sinx$ возрастает, при $x\in \left(-\frac{\pi }{2}+2\pi n,\frac{\pi }{2}+2\pi n\right)$.

Функция $f\left(x\right)=sinx$ убывает при $x\in \left(\frac{\pi }{2}+2\pi n,\frac{3\pi }{2}+2\pi n\right)$.

Точки максимума $(\frac{\pi }{2}+2\pi n,1)$.

Точки минимума $(\frac{3\pi }{2}+2\pi n,-1)$.

  1. Функция непрерывна на всей области определения.

График функции $y=sinx$

Графиком функции $y=sinx$ является синусоида (рис. 3).

Синусоида.

Рисунок 4. Синусоида.

Задачи на построение синусоид

Пример 1

Построить график функции $y=sinx-1$.

График данной функции получается из функции $y=sinx$ путем смещения вдоль оси $Oy$ на 1 единицу вниз:



Рисунок 5.

Пример 2

Построить график функции $y=sin\left(x+\frac{\pi }{2}\right)$.

График данной функции получается из функции $y=sinx$ путем смещения вдоль оси $Ox$ на $\frac{\pi }{2}$ единиц влево.



Рисунок 6.

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис