Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Решение пределов с тригонометрией. Примеры с решением

Все предметы / Математика / Решение пределов с тригонометрией. Примеры с решением

Определение пределов относится в вводному курсу математического анализа. Будем считать, что основные определения о числовых последовательностях, функциях и пределах читателю известны.

Многие задачи в математическом анализе требуют умения решать пределы с тригонометрией.

Обычно под пониманием решения предела с тригонометрией понимается решение первого замечательного предела ($x\to 0$). В подробностях теоретической части о замечательных пределах разбираться здесь не будем. Условимся, что нам уже известно и графическое представление, и определение первого замечательного предела, и теоремы о пределах. Основная задача данной статьи - продемонстрировать примеры решений пределов с тригонометрией. Поэтому перейдём сразу к ним.

Примеры с первым замечательным пределом

Пример 1

Нужно найти

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 1. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Имеем неопределённость вида $[\frac{0}{0}]$. Займёмся преобразованием дроби и воспользуемся теоремами о пределе произведения и первом замечательном пределе.

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 2. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример 2

Найдём

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 3. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Чтобы вычислить этот предел воспользуемся первым замечательным пределом, а также непрерывностью функции косинуса $x$ и теоремой о пределе произведения:

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 4. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример 3

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 5. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Воспользуемся определением функции тангенс $x$, непрерывностью функции косинус $x$ и первым замечательным пределом:

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 6. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример с таблицей сравнения бесконечно малых функций

Следующий пример будет основан на свойствах эквивалентных бесконечно малых функций. Для решения напомним таблицу сравнения бесконечно малых функций:

Таблица сравнения бесконечно малых функций. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 7. Таблица сравнения бесконечно малых функций. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример 4

Найдём

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 8. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Заменим числитель и знаменатель эквивалентными бесконечно малыми из приведённой таблицы:

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 9. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис