Определение пределов относится в вводному курсу математического анализа. Будем считать, что основные определения о числовых последовательностях, функциях и пределах читателю известны.
Многие задачи в математическом анализе требуют умения решать пределы с тригонометрией.
Обычно под пониманием решения предела с тригонометрией понимается решение первого замечательного предела ($x\to 0$). В подробностях теоретической части о замечательных пределах разбираться здесь не будем. Условимся, что нам уже известно и графическое представление, и определение первого замечательного предела, и теоремы о пределах. Основная задача данной статьи - продемонстрировать примеры решений пределов с тригонометрией. Поэтому перейдём сразу к ним.
Примеры с первым замечательным пределом
Нужно найти
Рисунок 1. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Имеем неопределённость вида $[\frac{0}{0}]$. Займёмся преобразованием дроби и воспользуемся теоремами о пределе произведения и первом замечательном пределе.
Рисунок 2. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Найдём
Рисунок 3. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Чтобы вычислить этот предел воспользуемся первым замечательным пределом, а также непрерывностью функции косинуса $x$ и теоремой о пределе произведения:
Рисунок 4. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Рисунок 5. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Воспользуемся определением функции тангенс $x$, непрерывностью функции косинус $x$ и первым замечательным пределом:
Рисунок 6. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Пример с таблицей сравнения бесконечно малых функций
Следующий пример будет основан на свойствах эквивалентных бесконечно малых функций. Для решения напомним таблицу сравнения бесконечно малых функций:
Рисунок 7. Таблица сравнения бесконечно малых функций. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Найдём
Рисунок 8. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Заменим числитель и знаменатель эквивалентными бесконечно малыми из приведённой таблицы:
Рисунок 9. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
