Предмет стереометрии
Стереометрия -- раздел геометрии, изучающий свойства пространственных фигур.
К основным из них относятся -- точка, прямая и плоскость. Точка и прямая известны из планиметрии.
Например, поверхность стола дает представление о части плоскости.
В геометрии считают, что плоскость ровная и неограниченная, не имеет краев и толщины.
На рисунках часть плоскости чаще всего изображают в виде произвольной замкнутой фигуры и обозначают буквами греческого алфавита и т.д.
Примеры других популярных фигур стереометрии:
Аксиомы стереометрии
В стереометрии справедливы все аксиомы планиметрии, а именно:
- все точки или принадлежат данной прямой, или не принадлежат ей;
- через любые -е точки можно провести -ну прямую;
- только одна из -х точек на прямой может лежать между -мя другими;
- длина любого отрезка прямой отлична от нуля;
- длина отрезка складывается из длин частей, на которые он делится любой его точкой;
- любой угол имеет определенную меру, отличную от нуля;
- мера угла складывается из мер углов, на которые он делится любым лучем, проходящим между его сторонами;
- аксиома Эвклида -- через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Дополнительные аксиомы стереометрии
Все точки или принадлежат данной плоскости, или не принадлежат ей. На рисунке точки и принадлежат плоскости (плоскость проходит через эти точки), а точки и -- не принадлежат.
Все точки прямой принадлежат плоскости, если этой плоскости принадлежат любые -е её точки. На рисунке точки и прямой принадлежат плоскости , поэтому и прямая , которой принадлежат эти точки, также принадлежат плоскости .
На рисунках ниже представлены два случая, когда прямая не принадлежит плоскости.
Две плоскости пересекаются по прямой, которая проходит через общую точку этих плоскостей.
На рисунке плоскости и имеют общую точку R, то есть точка R принадлежит как плоскости , так и плоскости . Точка R принадлежит также прямой . Значит, плоскости и пересекаются по прямой .
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести единственную плоскость. Иначе говоря, любые три точки в пространстве всегда лежат в одной плоскости.
На рисунке точки M, N и K не лежат на -ной прямой. Поэтому существует единственная плоскость , которой принадлежат все эти точки.
Следствия из аксиом стереометрии.
Через прямую и точку T, не лежащую на ней, можно провести -ну плоскость .
Через -е пересекающиеся прямые p и q можно провести -ну плоскость .
Плоскость можно задать а) -мя точками, не лежащими на -ной прямой, б) прямой и точкой, не лежащей на ней, в) -мя пересекающимися прямыми, г) -мя параллельными прямыми.
Возможны три случая взаимного расположения прямых в пространстве:
- пересекающиеся прямые лежат в -ной плоскости и имеют общую точку;
- параллельные прямые лежат в -ной плоскости и не имеют общих точек;
- скрещивающиеся прямые AB и CD -- не лежащие в -ной плоскости.
