Угол между векторами
Рассмотрим два данных вектора →a и →b. Отложим от произвольно выбранной точки O векторы →a=→OA и →b=→OB, тогда угол AOB называется углом между векторами →a и →b (рис. 1).
Рисунок 1.
Отметим здесь, что если векторы →a и →b сонаправлены или один из них является нулевым вектором, тогда угол между векторами равен 00.
Обозначение: ^→a,→b
Понятие скалярного произведения векторов
Математически это определение можно записать следующим образом:
Скалярное произведение может равняться нулю в двух случаях:
-
Если один из векторов будет нулевым вектором (Так как тогда его длина равна нулю).
-
Если векторы будут взаимно перпендикулярны (то есть cos900=0).
Отметим также, что скалярное произведение больше нуля, если угол между этими векторами острый (так как cos(^→a,→b) >0), и меньше нуля, если угол между этими векторами тупой (так как ${cos \left(\widehat{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}}\right)\ }
С понятием скалярного произведения связано понятие скалярного квадрата.
Скалярным квадратом вектора →a называется скалярное произведение этого вектора самого на себя.
Получаем, что скалярный квадрат равен
→a→a=|→a||→a|cos00 =|→a||→a|=|→a|2Вычисление скалярного произведения по координатам векторов
Помимо стандартного способа нахождения значения скалярного произведения, который вытекает из определения, существует еще один способ.
Рассмотрим его.
Пусть векторы →a и →b имеют координаты (a1,b1) и (a2,b2), соответственно.
Скалярное произведение векторов →a и →b равно сумме произведений соответствующих координат.
Математически это можно записать следующим образом
→a→b=a1a2+b1b2Доказательство.
-
Пусть один из векторов будет нулевым вектором. К примеру, →a=(0,0).
Тогда →a→b=0. С другой стороны a1a2+b1b2=0⋅a2+0⋅b2=0, значит
→a→b=a1a2+b1b2 -
Оба вектора не будут нулевыми векторами.
Отложим от произвольной точки O векторы →OA и →OB (рис. 2).
Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1По теореме косинусов, получим:
AB2=OA2+OB2−2OA⋅OBcosOТак как →AB=→OB−→OA, получим
|→OB−→OA|2=|→OA|2+|→OB|2−2|→OA||→OB|→OA→OB=12(|→OA|2+|→OB|2−|→OB−→OA|2)Так как векторы →OA и →OB имеют координаты (a1,b1) и (a2,b2), соответственно, то →OB−→OA=(a2−a1,b2−b1). Тогда равенство примет вид
→OA→OB=12(a21+b21+a22+b22−(a2−a1)2−(b2−b1)2)=a1a2+b1b2
Теорема доказана.
Эта теорема имеет несколько следствий:
Следствие 1: Векторы →a и →b перпендикулярны тогда и только тогда, когда a1a2+b1b2=0
Следствие 2: Косинус угла между векторами равен cosα=a1a2+b1b2√a21+b21⋅√a22+b22
Свойства скалярного произведения векторов
Для любых трех векторов и действительного числа k справедливо:
-
→a2≥0
Данное свойство следует из определения скалярного квадрата (определение 2).
-
Переместительный закон: →a→b=→b→a.
Данное свойство следует из определения скалярного произведения (определение 1).
-
Распределительный закон:
(→a+→b)→c=→a→c+→b→c. \end{enumerate}
По теореме 1, имеем:
(→a+→b)→c=(a1+a2)a3+(b1+b2)b3=a1a3+a2a3+b1b3+b2b3==→a→c+→b→c -
Сочетательный закон: (k→a)→b=k(→a→b). \end{enumerate}
По теореме 1, имеем:
(k→a)→b=ka1a2+kb1b2=k(a1a2+b1b2)=k(→a→b)
Пример задачи на вычисление скалярного произведения векторов
Найти скалярное произведение векторов →a и →b, если |→a|=3 и |→b|=2, а угол между ними равен 300, 450, 900, 1350.
Решение.
Используя определение 1, получаем
Для 300:
→a→b=6cos(300) =6⋅√32=3√3Для 450:
→a→b=6cos(450) =6⋅√22=3√2Для 900:
→a→b=6cos(900) =6⋅0=0Для 1350:
→a→b=6cos(1350) =6⋅(−√22)=−3√2