Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Как найти скалярное произведение векторов

Угол между векторами

Рассмотрим два данных вектора a и b. Отложим от произвольно выбранной точки O векторы a=OA и b=OB, тогда угол AOB называется углом между векторами a и b (рис. 1).



Рисунок 1.

Отметим здесь, что если векторы a и b сонаправлены или один из них является нулевым вектором, тогда угол между векторами равен 00.

Обозначение: ^a,b

Понятие скалярного произведения векторов

Определение 1

Скалярное произведение двух векторов – это скаляр (число), равный произведению длин двух векторов на косинус угла между этими векторами.

Математически это определение можно записать следующим образом:

Скалярное произведение может равняться нулю в двух случаях:

  1. Если один из векторов будет нулевым вектором (Так как тогда его длина равна нулю).

  2. Если векторы будут взаимно перпендикулярны (то есть cos900=0).

Отметим также, что скалярное произведение больше нуля, если угол между этими векторами острый (так как cos(^a,b) >0), и меньше нуля, если угол между этими векторами тупой (так как ${cos \left(\widehat{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}}\right)\ }

С понятием скалярного произведения связано понятие скалярного квадрата.

«Как найти скалярное произведение векторов» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ
Определение 2

Скалярным квадратом вектора a называется скалярное произведение этого вектора самого на себя.

Получаем, что скалярный квадрат равен

aa=|a||a|cos00 =|a||a|=|a|2

Вычисление скалярного произведения по координатам векторов

Помимо стандартного способа нахождения значения скалярного произведения, который вытекает из определения, существует еще один способ.

Рассмотрим его.

Пусть векторы a и b имеют координаты (a1,b1) и (a2,b2), соответственно.

Скалярное произведение векторов a и b равно сумме произведений соответствующих координат.

Математически это можно записать следующим образом

ab=a1a2+b1b2

Доказательство.

  1. Пусть один из векторов будет нулевым вектором. К примеру, a=(0,0).

    Тогда ab=0. С другой стороны a1a2+b1b2=0a2+0b2=0, значит

    ab=a1a2+b1b2
  2. Оба вектора не будут нулевыми векторами.

    Отложим от произвольной точки O векторы OA и OB (рис. 2).

    Иллюстрация теоремы 1

    Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

    По теореме косинусов, получим:

    AB2=OA2+OB22OAOBcosO

    Так как AB=OBOA, получим

    |OBOA|2=|OA|2+|OB|22|OA||OB|
    OAOB=12(|OA|2+|OB|2|OBOA|2)

    Так как векторы OA и OB имеют координаты (a1,b1) и (a2,b2), соответственно, то OBOA=(a2a1,b2b1). Тогда равенство примет вид

    OAOB=12(a21+b21+a22+b22(a2a1)2(b2b1)2)=a1a2+b1b2

Теорема доказана.

Эта теорема имеет несколько следствий:

Следствие 1: Векторы a и b перпендикулярны тогда и только тогда, когда a1a2+b1b2=0

Следствие 2: Косинус угла между векторами равен cosα=a1a2+b1b2a21+b21a22+b22

Свойства скалярного произведения векторов

Для любых трех векторов и действительного числа k справедливо:

  1. a20

    Данное свойство следует из определения скалярного квадрата (определение 2).

  2. Переместительный закон: ab=ba.

    Данное свойство следует из определения скалярного произведения (определение 1).

  3. Распределительный закон:

    (a+b)c=ac+bc. \end{enumerate}

    По теореме 1, имеем:

    (a+b)c=(a1+a2)a3+(b1+b2)b3=a1a3+a2a3+b1b3+b2b3==ac+bc
  4. Сочетательный закон: (ka)b=k(ab). \end{enumerate}

    По теореме 1, имеем:

    (ka)b=ka1a2+kb1b2=k(a1a2+b1b2)=k(ab)

Пример задачи на вычисление скалярного произведения векторов

Пример 1

Найти скалярное произведение векторов a и b, если |a|=3 и |b|=2, а угол между ними равен 300, 450, 900, 1350.

Решение.

Используя определение 1, получаем

Для 300:

ab=6cos(300) =632=33

Для 450:

ab=6cos(450) =622=32

Для 900:

ab=6cos(900) =60=0

Для 1350:

ab=6cos(1350) =6(22)=32
Дата последнего обновления статьи: 15.04.2024
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Как найти скалярное произведение векторов"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant