В работах по исследованию и обеспечению надежности большое место занимают статистические методы исследований и вероятностные оценки надежности. Это обусловлено тем, что события и величины, используемые в теории надежности, носят, как правило, случайный характер. Отказы объектов вызываются большим числом причин, связь между которыми установить не возможно, поэтому отказы изделий принадлежат к категории случайных событий. Время до возникновения отказа может принимать различные значения в пределах некоторой области возможных значений и принадлежит к категории случайных величин.
Случайное событие -- это событие, которое может появиться или не появиться в результате данного опыта.
Вероятность случайного события -- это количественная характеристика случайного события. Она представляет собой теоретическую частоту событий, около которой имеет тенденцию стабилизироваться действительная частота события при повторении опыта в данных условиях.
Частота случайного события -- статистическая вероятность события -- отношение числа появления данного события к числу всех произведенных опытов.
Примерами случайных событий, которые используются в прикладной теории надежности, являются:
-
событие, заключающееся в том, что на интервале времени от 0 до t объект непрерывно находится в работоспособном состоянии. Вероятность такого события обозначается P(t);
-
событие, заключающееся в том, что на интервале времени от 0 до t изделие может перейти в отказовое состояние. Вероятность такого события обозначается Q(t);
-
событие, заключающееся в том, что работоспособная к моменту времени t система перейдет за время Δt из состояния работоспособности (состояние 1) в состояние отказа (состояние 2). Вероятность такого события
Случайные события, следующие одно за другим в некоторой последовательности, образуют поток случайных событий.
Ординарный поток событий - поток, при котором вероятность попадания двух событий на один и тот же малый участок времени Δt пренебрежительно мала (в один и тот же момент времени может произойти только одно событие).
Поток без последействия - поток, при котором будущее развитие процесса появления событий не зависит от того, как этот процесс протекал в прошлом.
Стационарный поток - поток, параметры которого не зависят от времени, т.е. плотность потока событий (среднее число событий в единицу времени) является постоянной.
Поток, обладающий свойствами ординарности, стационарности и отсутствия последействия, называется простейшим потоком или стационарным пуассоновским потоком.
Нестационарный пуассоновский поток - это поток, обладающий свойством ординарности и отсутствием последействия, но не обладающий свойством стационарности.
Простейший поток находит широкое применение в теории надежности ввиду следующих факторов:
-
имеется предельная теорема, согласно которой сумма большого числа независимых потоков с любыми законами распределения приближается к простейшему потоку с ростом числа слагаемых потоков;
-
практика исследования потоков отказов, потоков восстановлений и других потоков, имеющих место при исследовании надежности, подтверждает обоснованность предположений о широкой распространенности простейших потоков.
Случайная величина -- величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение (заранее не известно, какое именно). Она может быть либо дискретной (число отказов за время t, число отказавших изделий при испытаниях заданного количества образцов и т.п.), либо непрерывной (время работы объекты до отказа, время восстановления работоспособности). Исчерпывающее представление о случайной величине дает закон распределения случайной величины -- соотношение между значениями случайной величины и их вероятностями.
Экспоненциальный закон
Функция распределения случайной величины:
где λ - интенсивность (среднее число событий в единицу времени) появления случайного события. Далее под t будем подразумевать время до возникновения отказа.
Функция плотности распределения времени до отказа:
где
это вероятность того, что за время t отказ не возникнет.
Интенсивность отказов λ(t) изменяется во времени следующим образом:
Таким образом, признаком экспоненциального закона распределения времени до отказа служит постоянство интенсивности отказов, что характерно для внезапных отказов на интервале времени, когда период приработки аппаратуры закончился, а период износа и старения еще не начался. Также постоянной становится λ системы, если отказы вызываются отказами большого числа комплектующих элементов, отказ каждого из которых приводит к отказу объекта.
Этими факторами, а также тем, что экспоненциальное распределение случайной величины существенно упрощает расчеты надежности, не вызывая значительных погрешностей, обусловлено широкое применение экспоненциального закона в инженерной практике.
На рисунке 1 приведены значения интенсивностей отказов для некоторых распространенных элементов ИС.
Рисунок 1.
Закон Пуассона. Вероятность того, что на интервале времени t произойдет n случайных событий (отказов) определяется формулой:
где a=λt - среднее число отказов на интервале времени t.
Время между двумя соседними событиями (отказами) подчиняется экспоненциальному распределению с параметром λ, т.е. вероятность того, что на участке времени τ, следующим за одним из отказов, не появится ни одного отказа, равна:
Определить вероятность того, что за время t=100ч произойдет 0-2 отказа, если λ=0,025.
Решение:
-
Среднее число отказов за время t: a=λt=2,5.
-
Вероятность отсутствия отказов P0(100)=e−2,5=0,082.
-
Вероятность одного отказа: P1(100)=(2,5)11e−2,5=0,205.
-
Вероятность двух отказов: P2(100)=(2,5)22e−2,5=0,256.
