В работах по исследованию и обеспечению надежности большое место занимают статистические методы исследований и вероятностные оценки надежности. Это обусловлено тем, что события и величины, используемые в теории надежности, носят, как правило, случайный характер. Отказы объектов вызываются большим числом причин, связь между которыми установить не возможно, поэтому отказы изделий принадлежат к категории случайных событий. Время до возникновения отказа может принимать различные значения в пределах некоторой области возможных значений и принадлежит к категории случайных величин.
Случайное событие -- это событие, которое может появиться или не появиться в результате данного опыта.
Вероятность случайного события -- это количественная характеристика случайного события. Она представляет собой теоретическую частоту событий, около которой имеет тенденцию стабилизироваться действительная частота события при повторении опыта в данных условиях.
Частота случайного события -- статистическая вероятность события -- отношение числа появления данного события к числу всех произведенных опытов.
Примерами случайных событий, которые используются в прикладной теории надежности, являются:
-
событие, заключающееся в том, что на интервале времени от $0$ до $t$ объект непрерывно находится в работоспособном состоянии. Вероятность такого события обозначается $P(t)$;
-
событие, заключающееся в том, что на интервале времени от $0$ до $t$ изделие может перейти в отказовое состояние. Вероятность такого события обозначается $Q(t)$;
-
событие, заключающееся в том, что работоспособная к моменту времени $t$ система перейдет за время $\Delta t$ из состояния работоспособности (состояние 1) в состояние отказа (состояние 2). Вероятность такого события
Случайные события, следующие одно за другим в некоторой последовательности, образуют поток случайных событий.
Ординарный поток событий - поток, при котором вероятность попадания двух событий на один и тот же малый участок времени $\Delta t$ пренебрежительно мала (в один и тот же момент времени может произойти только одно событие).
Поток без последействия - поток, при котором будущее развитие процесса появления событий не зависит от того, как этот процесс протекал в прошлом.
Стационарный поток - поток, параметры которого не зависят от времени, т.е. плотность потока событий (среднее число событий в единицу времени) является постоянной.
Поток, обладающий свойствами ординарности, стационарности и отсутствия последействия, называется простейшим потоком или стационарным пуассоновским потоком.
Нестационарный пуассоновский поток - это поток, обладающий свойством ординарности и отсутствием последействия, но не обладающий свойством стационарности.
Простейший поток находит широкое применение в теории надежности ввиду следующих факторов:
-
имеется предельная теорема, согласно которой сумма большого числа независимых потоков с любыми законами распределения приближается к простейшему потоку с ростом числа слагаемых потоков;
-
практика исследования потоков отказов, потоков восстановлений и других потоков, имеющих место при исследовании надежности, подтверждает обоснованность предположений о широкой распространенности простейших потоков.
Случайная величина -- величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение (заранее не известно, какое именно). Она может быть либо дискретной (число отказов за время $t$, число отказавших изделий при испытаниях заданного количества образцов и т.п.), либо непрерывной (время работы объекты до отказа, время восстановления работоспособности). Исчерпывающее представление о случайной величине дает закон распределения случайной величины -- соотношение между значениями случайной величины и их вероятностями.
Экспоненциальный закон
Функция распределения случайной величины:
где $\lambda $ - интенсивность (среднее число событий в единицу времени) появления случайного события. Далее под $t$ будем подразумевать время до возникновения отказа.
Функция плотности распределения времени до отказа:
где
это вероятность того, что за время $t$ отказ не возникнет.
Интенсивность отказов $\lambda (t)$ изменяется во времени следующим образом:
Таким образом, признаком экспоненциального закона распределения времени до отказа служит постоянство интенсивности отказов, что характерно для внезапных отказов на интервале времени, когда период приработки аппаратуры закончился, а период износа и старения еще не начался. Также постоянной становится $\lambda $ системы, если отказы вызываются отказами большого числа комплектующих элементов, отказ каждого из которых приводит к отказу объекта.
Этими факторами, а также тем, что экспоненциальное распределение случайной величины существенно упрощает расчеты надежности, не вызывая значительных погрешностей, обусловлено широкое применение экспоненциального закона в инженерной практике.
На рисунке 1 приведены значения интенсивностей отказов для некоторых распространенных элементов ИС.
Рисунок 1.
Закон Пуассона. Вероятность того, что на интервале времени $t$ произойдет $n$ случайных событий (отказов) определяется формулой:
где $a=\lambda t$ - среднее число отказов на интервале времени $t$.
Время между двумя соседними событиями (отказами) подчиняется экспоненциальному распределению с параметром $\lambda $, т.е. вероятность того, что на участке времени $\tau $, следующим за одним из отказов, не появится ни одного отказа, равна:
Определить вероятность того, что за время $t=100$ч произойдет 0-2 отказа, если $\lambda =0,025$.
Решение:
-
Среднее число отказов за время $t$: $a=\lambda t=2,5$.
-
Вероятность отсутствия отказов $P_{0} (100)=e^{-2,5} =0,082.$
-
Вероятность одного отказа: $P_{1} (100)=\frac{(2,5)^{1} }{1} e^{-2,5} =0,205$.
-
Вероятность двух отказов: $P_{2} (100)=\frac{(2,5)^{2} }{2} e^{-2,5} =0,256.$
