Гипергеометрическое распределение

В урне находится $7$ шаров, из которых $4$ белых, а остальные черные. Из урны наудачу берут $3$ шара. Найти закон распределения дискретной случайной величины и вероятность события, что вытянут больше чем два белых шара.

Решение.

Пускай $A_{k}$ -- событие, которое состоит в том, что из урны вытянут $k$ белых шаров

Возможные значения случайной величины $k: 0, 1, 2, 3$. Соответствующие им вероятности $р_0$, $р_1$, $р_2$, $р_3$ подсчитываем по формуле:

$$p_{k} =\frac{C_{m}^{k} \cdot C_{n-m}^{s-k} }{C_{n}^{s} }$$

Подставляя наши значения, найдем все вероятности.

$$p_{0}=p (x=0)=\frac{C_{4}^{0} \cdot C_{3}^{3} }{C_{7}^{3} }= \frac{1}{35} ; p_{1}=P (x=1)=\frac{C_{4}^{1} \cdot C_{3}^{2} }{C_{7}^{3} }= \frac{12}{35} ;$$ $$p_{2}=p (x=2)\, =\frac{C_{4}^{2} \cdot C_{3}^{1} }{C_{7}^{3} }= \frac{18}{35} ; p_{3}=p (x=3)\, =\frac{C_{4}^{3} \cdot C_{3}^{0} }{C_{7}^{3} }=\frac{4}{35} .$$

Закон расспределения этой случайной величины будет иметь следующий вид:

Рисунок 1.

Пускай $А$ -- событие, которое состоит в том, что из урны вытянули больше чем два белых шара. Вероятность этого события будет равна:

$$P(A)=\sum \limits _{k=2}^{3}P(A_{k} ) =\sum \limits _{k=2}^{3}\frac{C_{m}^{k} \cdot C_{n-m}^{s-k} }{C_{n}^{s} }$$

Искомая вероятность будет равна:

$$P(A)=P(A_{2} )+P(A_{3} )$$

Подставив наши значения получим:

$$P\left(A\right)=\frac{18}{35}+\frac{4}{35}=\frac{22}{35}$$

Если в задании заданы натуральные числа $m$, $n$, $s$, причем $m \leq s \leq n$. Если возможными значениями дискретной случайной величины являются $0,1,2,\dots , m$, и вероятности выражаются по формуле:

$$p_k = p(x = k) = $\frac{C_{m}^{k} \cdot C_{n-m}^{s-k} }{C_{n}^{s} } $, k = 0,1,\dots ,m,$$

то случайная величина $х$ имеет гипергеометрический закон распределения.

Случайная величина из примера 1 имеет гипергеометрический закон распределения с $n =7$, $s = 3$, $m = 4$.

Среди $50$ изделий $20$ окрашенных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных $5$ изделий окажется ровно $3$ окрашенных.

Решение:

По условию задачи $n= 50$, $m = 20$, $s = 5$, $k = 3$. Искомая вероятность

$$P\left(X=3\right)=\frac{C_{20}^{3} C_{30}^{2} }{C_{50}^{5} } =0,234.$$

В лотерее «Спортлото» имеется $45$ видов спорта. Студент отметил на карточке шесть видов спорта. Он выиграет, если из этих шести чисел не меньше трьох совпадают с некоторыми шестьма числами, которые выпадают в тираже. Найти вероятность выиграша.

Решение:

Пусть $A_{k}$ - событие, которое состоит в том, что студент угадал $k$ видов спорта. Тогда в формулу:

$$p_{k} =\frac{C_{m}^{k} \cdot C_{n-m}^{s-k} }{C_{n}^{s} }$$

подставим наши значения и получим:

$$p_{k} =\frac{C_{6}^{k} \cdot C_{45-6}^{6-k} }{C_{45}^{6} }$$

Пусть $А$ -- событие, которое состоит в том, что студент выиграет. Вероятность этого события будет равен:

$$P(A)=\sum \limits _{k=3}^{6}P(A_{k} ) =\sum \limits _{k=3}^{6}\frac{C_{6}^{k} \cdot C_{45-6}^{6-k} }{C_{45}^{6} }$$

Закон расспределения этой случайной величины будет иметь следующий вид:

Рисунок 2.

Искомая вероятность будет равна:

$$P(A)=P(A_{3} )+P(A_{4} )+P(A_{5} )+P(A_{6} )$$

Подставив полученые значения найдем:

$$P(A)=0,0{\rm 1765}0+0,000{\rm 969}+0,0000{\rm 18}+0,000000\approx 0,018638;$$