Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Производная и дифференциал / Применение дифференциала в приближенных вычислениях
Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Абсолютная погрешность

Определение

Величина абсолютной разности между точным и приближенным u0 значением величины называется абсолютной погрешностью приближенной величины u0. Абсолютную погрешность обозначают $\Delta $u:

$\Delta u = |u - u0| $

Чаще всего точное значение u, а следовательно, и абсолютная погрешность $\Delta $u неизвестны. Поэтому вводят понятие границы абсолютной погрешности.

Граница погрешности приближенной величины

Определение

Любое положительное число больше либо равное абсолютной погрешности является границей погрешности приближенной величины:

\[|u-u_{0} |=\Delta _{u} \le \overline{\Delta _{u} }\]

Значит, точное значение величины содержится между $u_{0} -\overline{\Delta _{u} }$ и $u_{0} +\overline{\Delta _{u} }$

\[u_{0} -\overline{\Delta _{u} }\le u\le u_{0} +\overline{\Delta _{u} }\]

Если граница абсолютной погрешности при нахождении некоторой величины u равна $\overline{\Delta _{u} }$, то говорят, что величина u найдена с точностью $\overline{\Delta _{u} }$.

Относительная погрешность и ее граница

Определение

Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности $\Delta $u к модулю приближенного значения u0 измеряемой величины.

Обозначая относительную погрешность символом $\delta $u, получим

\[\delta _{u} =\frac{\Delta _{u} }{\left|u_{0} \right|} \]
Определение

Границей относительной погрешности называется отношение границы абсолютной погрешности, к модулю приближенного значения измеряемой величины:

\[\overline{\delta _{u} }=\frac{\overline{\Delta _{u} }}{\left|u_{0} \right|} \]

$\delta _{u} $ и $\overline{\delta _{u} }$ часто выражают в процентах.

Дифференциал функции

Определение

Дифференциалом функции называется произведение производной этой функции на приращение независимой переменной.

Дифференциал функции обозначается dy и имеет запись вида:

dy = f '(x) $\Delta $х

В ряде случаев, вычисление приращения функции заменяется вычислением дифференциала функции с некоторым приближением. Дифференциал функции вычисляется проще, т.к. требует нахождения лишь ее производной для расчета произведения с независимой переменной:

\[\Delta y\approx dy\]

Поскольку

\[\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)\] \[dy=f'(x)\Delta x\]

Наращенное значение функции имеет вид:

\[f(x+\Delta x)-f(x)\approx f'(x)\Delta x\]

С помощью этой приближенной формулы можно находить приближенное значение функции в точке $x + \Delta х$, близкой к х по известному значению функции.

Для приближенных вычислений используется формула:

\[(1+\Delta x)^{n} \approx 1+n\Delta x\]

Например:

  1. Приближенно вычислить $(1,02)^3$
  2. Где $\Delta $х = 0,03, n = 5

    \[(1,02)^{3} \approx 1+0,02\cdot 3\]

    Где $\Delta $х = 0,03, n = 5

    \[(1,02)^{3} \approx 1,06\]
  3. Приближенно вычислить $\sqrt{1,005} $

Где $\Delta $х = 0,005, n =0,5

\[\sqrt{1,005} \approx 1+0,5\cdot 0,005\] \[\sqrt{1,005} \approx 1,0025\]
Пример 1

Приближенно рассчитать увеличение объема цилиндра с высотой H = 40см. и радиусом основания R = 30см при увеличении радиуса основания на 0,5 см.

Решение. Объем цилиндра V при постоянной высоте H и переменном радиусе основания R это функция вида:

\[V=\pi HR^{2} \]

Запишем приращение функции:

\[dV=2\pi HR\cdot \Delta R\] \[\Delta V\approx 2\pi HR\cdot \Delta R\]

Заменим известные величины

\[\Delta V\approx 2\pi \cdot 40\cdot 30\cdot 0,5=1200\pi \approx 3770 см^{3} \]
Пример 2

Прямым измерением найдено, что диаметр круга равен 5,2 см, причем максимальная погрешность измерения составляет 0,01. Найти приближенную относительную и процентную погрешности в вычисленной площади этого круга.

Решение.

Относительная погрешность вычисления площади находится по формуле:

\[\delta _{s} =\frac{\Delta s}{s} \]

Приближенное значение получается в следствие замены $\Delta $s на ds. Поэтому приближенный расчет будет производиться по формуле:

\[\delta _{s} =\frac{ds}{s} \]

Поскольку площадь круга с радиусом х равна:

\[s=\frac{1}{4} \pi x^{2} \] \[ds=\frac{1}{2} \pi xdx\]

Таким образом,

\[\delta _{s} =\frac{\frac{1}{2} \pi xdx}{\frac{1}{4} \pi x^{2} } =2\frac{dx}{x} \]

Заменим х и dx числовыми значениями

\[\delta _{s} =2\frac{0,01}{5,2} \approx 0,004\]

(что составляет погрешность 4%)