Основные понятия о сложениях вероятностей
Пусть задано вероятностное пространство . Из аксиом, определяющих вероятность события, получаем следующие свойства вероятностей событий:
Пусть , тогда .
Пусть . Так как , а , то по аксиоме 3 получаем
Для , .
Пусть . Так как , то . Тогда по аксиоме 2 и свойству 2 получаем
\[0Если , то , а если , то . Следовательно,
Пусть образуют полную группу несовместных событий, тогда по определению , , ,
и . Переходя к вероятностям в последнем равенстве получаем .
С учетом аксиомы 3 окончательно имеем
Если , то .
Пусть , имеем , . Тогда по аксиоме 3 получаем
Следовательно, .
Теорему сложения вероятностей можно распространить на любое число событий, например, теорема сложения вероятностей трех событий формулируется следующим образом
Если , то
События называются независимыми, если вероятность их совместного осуществления равна произведению вероятностей этих событий, т.е.
Основные понятия о умножении вероятностей
При вычислении вероятностей случайных событий, часто возникают ситуации, когда вся информация о случайном событии A содержится в некотором подмножестве пространства ,
не совпадающего с ним. В этом случае, считая это подмножество за новое пространство элементарных событий, можно более эффективно вычислить вероятность реализации события A в пространстве .
Пусть дано вероятностное пространство и . Если , то условной вероятностью появления события A, при условии, что событие B произошло, называется число, определяемое формулой
Вероятность совместного наступления двух событий равна произведению вероятности одного из них и соответствующей условной вероятности другого.
То есть, если , то
Аналогично формулируется теорема умножения вероятностей для любого числа событий, например, если , то
Учитывая определение условной вероятности, для независимых событий A и B выполняются равенства
и .В ящике 10 деталей, среди которых 2 нестандартные. Найти вероятность того, что в наудачу отобранных 3 деталях окажется не более одной нестандартной детали.
Решение. Пусть
A -- из 3-х извлеченных деталей не более одной нестандартной,
-- из 3-х извлеченных деталей ноль нестандартных,
-- из 3-х извлеченных деталей одна нестандартная,
тогда , так как среди 3-х отобранных деталей будет не более одной нестандартной только в том случае, если среди отобранных 3-х деталей будет либо одна стандартная, либо не будет ни одной. Переходя к вероятностям, по теореме сложения вероятностей получаем
Так как события , несовместны, то и
Симметричная монета подбрасывается два раза. Пусть события A -- «герб» выпал один раз, B -- «решетка» выпала один раз. Выяснить независимость событий A и B.
Решение. Построим пространство элементарных событий, пространство элементарных событий состоит из четырех элементарных событий (см пр. 2)
где 1 -- выпадение «герба» два раза; 2 -- выпадение «герба» и «решетки»; 3 - выпадение «решетки» и «герба»; 4 -- выпадение «решетки» два раза.
Тогда, используя классическое определение вероятности, получаем
Однако . Следовательно , т.е. события A и B зависимы, что видно и непосредственно, так как появление каждого из элементарных событий из A события определяют появление элементарных событий B.
Игральная кость подбрасывается один раз. Событие A -- выпадение на верней грани игральной кости четного числа очков, B -- выпадение на верней грани игральной кости числа очков кратного 3. Выяснить независимость событий A и B.
Решение. Пространство элементарных событий состоит из шести элементарных событий ,
где -- выпадение i очков (числа i) при подбрасывании игральной кости, . Тогда получаем , , . С другой стороны .
В ящике 10 деталей, среди которых 2 нестандартные. Найти вероятность того, что среди 2-х отобранных деталей ни одной нестандартной.
Решение.
Пусть
A -- из 2-х отобранных деталей ни одной нестандартной,
-- 1-ая, из 2-х отобранных деталей, стандартная,
-- 2-ая, из 2-х отобранных деталей, стандартная,
тогда , поскольку из 2-х отобранных деталей не будет ни одной нестандартной только в том случае, если и 1-ая, и 2-ая отобранная деталь будут стандартными). По теореме умножения вероятностей получаем
Для вычисления вероятностей , воспользуемся формулой классической вероятности. Так как способов извлечь 1-ую деталь 10, а именно стандартную -- 8, то получаем
Поскольку событие A1 произошло, то есть, извлечена одна стандартная деталь, то способов извлечь 2-ую деталь - только 9, при этом стандартную -- уже 7, поэтому