Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Следствия теорем сложения и умножения

Основные понятия о сложениях вероятностей

Пусть задано вероятностное пространство {Ω,A,P}. Из аксиом, определяющих вероятность события, получаем следующие свойства вероятностей событий:

Свойство 1

Пусть AΩ, тогда P(A)+P(A¯)=1.

Доказательство

Имеем AΩ, тогда A¯Ω. Так как AA¯Ω и AA¯=, то по аксиоме 3 получаем

1=P(Ω)=P(AA¯)=P(A)+P(A¯),
P(A)+P(A¯)=1.
Свойство 2
P()=0.
Доказательство

Пусть AΩ. Так как A=A, а A=, то по аксиоме 3 получаем

P(A)=P(A)=P(A)+P(),
P()=P(A)P(A)=0.
Свойство 3

Для AΩ, 0P(A)1.

Доказательство

Пусть AΩ. Так как AΩ, то P()P(A)P(Ω). Тогда по аксиоме 2 и свойству 2 получаем

\[0

Если A=, то P(A)=P()=0, а если A=Ω, то P(A)=P(Ω)=1. Следовательно,

0P(A)1.
Свойство 4
vПусть A1,A2,...,AnΩ образуют полную группу несовместных событий, то i=1nP(Ai)=1.
«Следствия теорем сложения и умножения» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ
Доказательство

Пусть A1,A2,...,AnΩ образуют полную группу несовместных событий, тогда по определению AiAj=, ij, i,j=1,2,...,n,

и i=1nAi=Ω. Переходя к вероятностям в последнем равенстве получаем P(i=1nAi)=P(Ω)=1.

С учетом аксиомы 3 окончательно имеем

P(i=1nAi)=i=1nP(Ai)=1.
Теорема сложения вероятностей

Если A,BΩ, то P(AB)=P(A)+P(B)P(AB).

Доказательство

Пусть A,BΩ, имеем AB=A(BA), B=(BA)(AB). Тогда по аксиоме 3 получаем

P(AB)=P(A(BA))=P(A)+P(BA),
P(B)=P((BA)(AB))=P(BA)+P(AB).

Следовательно, P(AB)=P(A)+P(B)P(AB).

Замечание

Теорему сложения вероятностей можно распространить на любое число событий, например, теорема сложения вероятностей трех событий формулируется следующим образом

Если A,B,CΩ, то

P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)
P(BC)+P(ABC).
Определение

События A,BΩ называются независимыми, если вероятность их совместного осуществления равна произведению вероятностей этих событий, т.е.

P(AB)=P(A)P(B).

Основные понятия о умножении вероятностей

При вычислении вероятностей случайных событий, часто возникают ситуации, когда вся информация о случайном событии A содержится в некотором подмножестве пространства Ω,

не совпадающего с ним. В этом случае, считая это подмножество за новое пространство элементарных событий, можно более эффективно вычислить вероятность реализации события A в пространстве Ω.

Определение

Пусть дано вероятностное пространство {Ω,A,P} и A,BΩ. Если P(B)>0, то условной вероятностьюP(A/B) появления события A, при условии, что событие B произошло, называется число, определяемое формулой

P(A/B)=P(AB)P(B).
Теорема умножения вероятностей

Вероятность совместного наступления двух событий равна произведению вероятности одного из них и соответствующей условной вероятности другого.

То есть, если A,BΩ, то

P(AB)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B).
Замечание

Аналогично формулируется теорема умножения вероятностей для любого числа событий, например, если A,B,CΩ, то

P(ABC)=P(A)P(B/A)P(C/AB).

Учитывая определение условной вероятности, для независимых событий A и B выполняются равенства

P(A/B)=P(A) и P(B/A)=P(B).
Пример 1

В ящике 10 деталей, среди которых 2 нестандартные. Найти вероятность того, что в наудачу отобранных 3 деталях окажется не более одной нестандартной детали.

Решение. Пусть

A -- из 3-х извлеченных деталей не более одной нестандартной,

A1 -- из 3-х извлеченных деталей ноль нестандартных,

A2 -- из 3-х извлеченных деталей одна нестандартная,

тогда A=A1A2, так как среди 3-х отобранных деталей будет не более одной нестандартной только в том случае, если среди отобранных 3-х деталей будет либо одна стандартная, либо не будет ни одной. Переходя к вероятностям, по теореме сложения вероятностей получаем

P(A)=P(A1A2)=P(A1)+P(A2)P(A1A2).

Так как события A1, A2 несовместны, то P(A1A2)=0 и

P(A)=P(A1A2)=P(A1)+P(A2)=C20C83C103+C21C82C103==18763!10983!+2873!10982!=753+76109=715+715=1415.
Пример 2

Симметричная монета подбрасывается два раза. Пусть события A -- «герб» выпал один раз, B -- «решетка» выпала один раз. Выяснить независимость событий A и B.

Решение. Построим пространство элементарных событий, пространство элементарных событий состоит из четырех элементарных событий (см пр. 2)

Ω={ω1,ω2,ω3,ω4},

где ω1 -- выпадение «герба» два раза; ω2 -- выпадение «герба» и «решетки»; ω3 - выпадение «решетки» и «герба»; ω4 -- выпадение «решетки» два раза.

Тогда, используя классическое определение вероятности, получаем

P(A)=24=12,P(B)=24=12,P(AB)=24=12.

Однако P(A)P(B)=1212=14. Следовательно P(AB)P(A)P(B), т.е. события A и B зависимы, что видно и непосредственно, так как появление каждого из элементарных событий из A события определяют появление элементарных событий B.

Пример 3

Игральная кость подбрасывается один раз. Событие A -- выпадение на верней грани игральной кости четного числа очков, B -- выпадение на верней грани игральной кости числа очков кратного 3. Выяснить независимость событий A и B.

Решение. Пространство элементарных событий состоит из шести элементарных событий Ω={ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6},

где ωi -- выпадение i очков (числа i) при подбрасывании игральной кости, i=1,2,...,6. Тогда получаем P(A)=36=12, P(B)=26=13, P(AB)=16. С другой стороны P(A)P(B)=16.

Пример 4

В ящике 10 деталей, среди которых 2 нестандартные. Найти вероятность того, что среди 2-х отобранных деталей ни одной нестандартной.

Решение.

Пусть

A -- из 2-х отобранных деталей ни одной нестандартной,

A1 -- 1-ая, из 2-х отобранных деталей, стандартная,

A2 -- 2-ая, из 2-х отобранных деталей, стандартная,

тогда A=A1A2, поскольку из 2-х отобранных деталей не будет ни одной нестандартной только в том случае, если и 1-ая, и 2-ая отобранная деталь будут стандартными). По теореме умножения вероятностей получаем

P(A)=P(A1A2)=P(A1)P(A2/A1)=81079=2845.

Для вычисления вероятностей P(A1), P(A2/A1) воспользуемся формулой классической вероятности. Так как способов извлечь 1-ую деталь 10, а именно стандартную -- 8, то получаем

P(A1)=810.

Поскольку событие A1 произошло, то есть, извлечена одна стандартная деталь, то способов извлечь 2-ую деталь - только 9, при этом стандартную -- уже 7, поэтому

P(A2/A1)=79.
Дата последнего обновления статьи: 25.12.2023
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot