Линейные неравенства с двумя переменными
Неравенства вида $ax+by\le ()c$, где $x\ и\ y$ - неизвестные переменные, а $a,\ b\ и\ c$ - некоторые числа, причем $a\ и\ b$ отличны от нуля, называются линейными неравенствами с двумя переменными.
$x-2y\ge 4$ - линейное неравенство с двумя переменными.
Пара чисел называется решением линейного неравенства с двумя переменными, если при их подстановке в уравнение получается верное равенство.
Пара чисел $(1,\ \ 1)$ является решением линейного неравенства $2x-y
Свойства линейных неравенств с двумя переменными:
-
К неравенству можно прибавлять с обоих сторон и вычитать из обоих сторон одно и тоже число.
-
Неравенство можно умножать и делить с обоих сторон на одно и тоже, отличное от нуля, число, причем при умножении (делении на положительное число уравнение не меняет знак, а при умножение (деление) на отрицательное число меняет знак на противоположный.
Неравенства
\[2x+y >3\] \[2x+y+1 >4\] \[-2\left(2x+y+1\right)являются равносильными.График линейного неравенства с двумя переменными
Графиком линейного неравенства с двумя переменными является множество всех точек, которые является решением данного линейного неравенства.
Построим график линейного неравенства $2x-y\ge -3$
Для этого сначала выразим переменную $y$ через $x$:
\[-y\ge -3-2x\] \[y\le 2x+3\]Вначале построим прямую $y=2x+3$
Найдем две точки, принадлежащие данной функции. Пусть $x=1$, тогда $y=5$. Пусть $x=-1$, тогда $y=1$. Проведем прямую через точки $\left(-1,1\right)\ и\ (1,\ 5)$. Получим следующее решение (отмечено серым цветом):
Рисунок 1.
!!! Отметим здесь, что если бы знак был $"больше"$ (без равенства), то сама прямая $y=2x+3$ не входила бы в решение.
Системы линейных неравенств с двумя переменными
Системой линейных неравенств с двумя переменными называется такая система неравенств, которая в своем составе имеет два и более линейных неравенств с двумя переменными.
Решением системы линейных неравенств называется такая пара чисел, которая является решением всех неравенств, входящих в данную систему.
В дальнейшем будем рассматривать системы из двух линейных неравенств с двумя переменными.
Решением системы двух неравенств является пересечение графических решений каждого неравенства по отдельности.
Рисунок 2: Красным цветом - решение первого неравенства, зеленым -- решение второго неравенства.
Рисунок 3: Серым выделено общее решение системы двух неравенств.
Рисунок 2. Решение двух неравенств
Рисунок 3. Решение системы линейных неравенств
Пример решения задачи с использованием понятия линейных уравнений с двумя переменными
Найти графическое решение неравенства $x-y
Решение:
Вначале выразим переменную $y$ через $x$:
\[-yx-1\]Изобразим график уравнения $y=x-1$
Найдем две точки, принадлежащие данной функции. Пусть $x=1$, тогда $y=0$. Пусть $x=0$, тогда $y=-1$. Проведем прямую через точки $\left(1,0\right)\ и\ (0,\ -1)$. Получим следующее решение:
Рисунок 4.
Это и есть графический вид решения системы неравенств с двумя переменными.
