Линейные неравенства с двумя переменными
Неравенства вида ax+by≤()c, где x и y - неизвестные переменные, а a, b и c - некоторые числа, причем a и b отличны от нуля, называются линейными неравенствами с двумя переменными.
x−2y≥4 - линейное неравенство с двумя переменными.
Пара чисел называется решением линейного неравенства с двумя переменными, если при их подстановке в уравнение получается верное равенство.
Пара чисел (1, 1) является решением линейного неравенства $2x-y
Свойства линейных неравенств с двумя переменными:
-
К неравенству можно прибавлять с обоих сторон и вычитать из обоих сторон одно и тоже число.
-
Неравенство можно умножать и делить с обоих сторон на одно и тоже, отличное от нуля, число, причем при умножении (делении на положительное число уравнение не меняет знак, а при умножение (деление) на отрицательное число меняет знак на противоположный.
Неравенства
2x+y>3 2x+y+1>4 \[-2\left(2x+y+1\right)являются равносильными.График линейного неравенства с двумя переменными
Графиком линейного неравенства с двумя переменными является множество всех точек, которые является решением данного линейного неравенства.
Построим график линейного неравенства 2x−y≥−3
Для этого сначала выразим переменную y через x:
−y≥−3−2x y≤2x+3Вначале построим прямую y=2x+3
Найдем две точки, принадлежащие данной функции. Пусть x=1, тогда y=5. Пусть x=−1, тогда y=1. Проведем прямую через точки (−1,1) и (1, 5). Получим следующее решение (отмечено серым цветом):
Рисунок 1.
!!! Отметим здесь, что если бы знак был "больше" (без равенства), то сама прямая y=2x+3 не входила бы в решение.
Системы линейных неравенств с двумя переменными
Системой линейных неравенств с двумя переменными называется такая система неравенств, которая в своем составе имеет два и более линейных неравенств с двумя переменными.
Решением системы линейных неравенств называется такая пара чисел, которая является решением всех неравенств, входящих в данную систему.
В дальнейшем будем рассматривать системы из двух линейных неравенств с двумя переменными.
Решением системы двух неравенств является пересечение графических решений каждого неравенства по отдельности.
Рисунок 2: Красным цветом - решение первого неравенства, зеленым -- решение второго неравенства.
Рисунок 3: Серым выделено общее решение системы двух неравенств.
Рисунок 2. Решение двух неравенств
Рисунок 3. Решение системы линейных неравенств
Пример решения задачи с использованием понятия линейных уравнений с двумя переменными
Найти графическое решение неравенства $x-y
Решение:
Вначале выразим переменную y через x:
−yx−1Изобразим график уравнения y=x−1
Найдем две точки, принадлежащие данной функции. Пусть x=1, тогда y=0. Пусть x=0, тогда y=−1. Проведем прямую через точки (1,0) и (0, −1). Получим следующее решение:
Рисунок 4.
Это и есть графический вид решения системы неравенств с двумя переменными.
