Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Признаки сходимости рядов

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Ряды / Признаки сходимости рядов
Признаки сходимости рядов
Теорема 1 (интегральный признак Коши)

Пусть дан ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n} $, члены которого удовлетворяют трём условиям:

  1. $a_{n} >0,\, \, \, n\ge 1$, т.е. исходный ряд с положительными членами;
  2. члены ряда монотонно убывают, т.е. $a_{1} >a_{2} >\ldots >a_{n-1} >a_{n} >\ldots >0$;
  3. общий член ряда стремится к нулю: $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } a_{n} =0$.

Пусть существует непрерывная, монотонно убывающая, определённая при $x\ge 1$ функция f(x), такая что $f\left(1\right)=a_{1} ,\, \, \, f\left(2\right)=a_{2} ,\, \, \, \ldots ;\, \, \, f\left(n\right)=a_{n} ,\, \, \, \ldots $, т.е. $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n} =\sum \limits _{n=1}^{\infty }f(n) $. Тогда, если несобственный интеграл $\int \limits _{1}^{+\infty }f\left(x\right){\rm d}x $ сходится, то ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n} $ тоже сходится; если указанный интеграл расходится, то этот ряд расходится.

Замечание 1

Теорема остаётся верной и тогда, когда её условия выполняются не для всех членов ряда, а лишь начиная с k-го ($n\ge k$), в таком случае рассматривается интеграл $\int \limits _{k}^{+\infty }f\left(x\right)\, {\rm d}x $.

Замечание 2

Интегральный признак Коши существенно облегчает исследование сходимости ряда, так как позволяет свести этот вопрос к выяснению сходимости интеграла от удачно подобранной соответствующей функции $f(x)$, что легко выполняется, применяя методы интегрального исчисления.

Теорема 2 (радикальный признак Коши)

Пусть дан ряд с положительными членами $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n} ,\, \, \, a_{n} >0$ и пусть существует конечный предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \sqrt[{n}]{a_{n} } =l.$Тогда:

  1. если $l
  2. если $l>1$, ряд расходится,
  3. если $l=1$, то для выяснения сходимости ряда радикальный признак Коши не применим.
Доказательство
  1. Пусть существует $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \sqrt[{n}]{a_{n} } =l0$, то $l\ge 0$. Рассмотрим число q такое, что $l 0$ существует $N=N({\rm \varepsilon })\in $N, начиная с которого $\forall n \ge N$ выполняется неравенство $\left|\sqrt[{n}]{a_{n} } -l\right|

    $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n} =\, a_{1} +\, a_{2} +\ldots +\, a_{N} +\, a_{N+1} +a_{N+2} +...$ . (1)

    Составим новый ряд

    $\sum \limits _{k=0}^{\infty }q^{N+k} =q^{N} +\, q^{N+1} +q^{N+2} +\ldots $ (2)

    Ряд (2) представляет собой ряд геометрической прогрессии со знаменателем $q$: $0\le q

  2. Пусть существует $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \sqrt[{n}]{a_{n} } =l>1$. Начиная с некоторого $N=N({\rm \varepsilon })\in {\rm N}$ $\forall n\ge N$, $\, \, \sqrt[{n}]{a_{n} } >1\, \, \, \Rightarrow \, \, \, \, a_{n} >1$, т.е. $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } a_{n} \ne 0$, тогда исходный ряд расходится по необходимому признаку сходимости.
  3. Если $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \sqrt[{n}]{a_{n} } =l=1$ (или не существует), то для выяснения сходимости ряда радикальный признак Коши не применим.

Теорема доказана.

Теорема 3 (признак Даламбера)

Пусть дан ряд с положительными членами $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n} \, \, \, (a_{n} >0) $, и существует конечный предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =l$, тогда:

  1. ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n} $ сходится, если $l
  2. ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n} $ расходится, если $l>1$,
  3. если $l=1$, то для выяснения сходимости ряда признак Даламбера не применим.
Доказательство
  1. Пусть предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =l$ существует и $0\le l 0$ существует $N({\rm \varepsilon })\in $N, начиная с которого $\forall n\ge N=N({\rm \varepsilon })$ выполняется неравенство $\left|\frac{a_{n+1}} {a_n}-l\right|

    Запишем исходный ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n} \, \, \, (a_{n} >0) $ в виде: $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n} =a_{1} +a_{2} +\ldots +a_{N} +a_{N+1} +a_{N+2} \, +...$. Рассмотрим новый ряд $\sum \limits _{k=0}^{\infty }a_{N} \cdot q^{k} =a_{N} +qa_{N} +q^{2} a_{N} +\ldots $ . Этот ряд есть ряд геометрической прогрессии с $b_{1} =a_{N} $ и $0

  2. Пусть $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =l>1$. Рассмотрим число q такое, что $l>q>1$. ${\rm \varepsilon }=l-q>0$, из определения предела следует:$-{\rm \varepsilon } q > 1.$Таким образом, $a_{n+1} >a_n > 0$ и при $n\to \infty $ общий член ряда $a_{n} $ не стремится к 0, т.е. ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_n $ расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости ряда. Вторая часть теоремы доказана.
  3. Если $l=1$,$\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $ равен единице или не существует, в этом случае для выяснения сходимости ряда признак Даламбера не применим.
Пример 1

Исследовать на сходимость ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{n}{2^{n} } $.

Решение. Обозначим $\frac{n}{2^{n} } =a_{n} $, $a_{n} >0$; найдём $a_{n+1} =\frac{n+1}{2^{n+1} } $. Составим предел $l=\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{(n+1)\cdot 2^{n} }{2^{n} \cdot 2\cdot n} =\frac{1}{2} \mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{n+1}{n} =\frac{1}{2}

Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{n}{2^{n} } $сходится.

Пример 2

Исследовать на сходимость ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{n!}{5^{n} } $.

Решение. Обозначим $\frac{n!}{5^{n} } =a_{n} ,a_{n} >0$; найдём $a_{n+1} =\frac{(n+1)!}{5^{n+1} } $. Составим предел

\[l=\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{(n+1)!\cdot 5^{n} }{5^{n+1} \cdot n!} =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{n!\cdot (n+1)\cdot 5^{n} }{5^{n} \cdot 5\cdot n!} =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{n+1}{5} =\infty >1,\]

т.е. по признаку Даламбера ряд расходится.

Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{n!}{5^{n} } $ расходится.

Пример 3

Исследовать на сходимость ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \left(\frac{n}{2n+1} \right)^{n} $

Решение. Обозначим $\left(\frac{n}{2n+1} \right)^{n} =a_{n} ,^{} a_{n} >0$. Составим предел:

$l=\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \sqrt[{n}]{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to } \frac{n}{2n+1} =\frac{1}{2}

Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \left(\frac{n}{2n+1} \right)^{n} $сходится.