Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Признак сходимости Даламбера, примеры

Все предметы / Математика / Признак сходимости Даламбера, примеры
Содержание статьи

Признак сходимости Даламбера

Изучение признака сходимости Даламбера входит в разделах о рядах в курсе математического анализа.

Будем считать, что читателю уже известно понятие последовательности. Итак, имеем последовательность $\{a_n\}$. Рассмотрим сумму её членов:

$a_1+a_2+...+a_n$ или $\sum_{k=1}^n a_n$. Рассмотрим также следующую сумму: $a_v+a_2+...+a_n$ или $\sum_{k=v}^n a_n$, где $v

Вычисление этих сумм в общем случае алгоритмически невозможно. В отдельных случаях используют специальные приёмы, которые в данной статье мы опустим. Перейдём к определению числового ряда.

Определение 1

Числовой ряд - это бесконечная сумма из бесконечной последовательности чисел:

$\sum_{n=1}^\infty w_n$.

Приведём понятие сходящегося числового ряда и расходящегося. Введём обозначение некоторой конечной суммы первых $n$ членов: $S_n=w_1,+w_2+w_3+...+w_n$. Такая сумма называется $n$-й частичной суммой ряда.

Определение 2

Числовой ряд сходящийся, если существует предел вида $S=\lim\limits_{n\to\infty} S_n$. Иначе ряд расходящийся.

В теории числовых рядом первым вопросом является вопрос о сходимости данного ряда. Если доказана сходимость, то следующий вопросом встаёт его сумма. Она вычисляется приближённо, с большим количеством членов в составе.

Существуют несколько признаков сходимости рядов с положительными членами:

  1. радикальный признак Коши;
  2. признак Даламбера.

В рамках данной статьи перейдём сразу ко второму признаку.

Теорема 1

Пусть существует предел

Предел. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 1. Предел. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Если $D$ $1$, то ряд расходится.

Готовые работы на аналогичную тему

Замечание 1

Если $D=1$, то теорема не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

$D\neq1$ если члены ряда убывают или растут достаточно быстро.

Примеры

Пример 1

Необходимо исследовать сходимость ряда

Ряд. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 2. Ряд. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Общий член знакоположительного ряда:

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 3. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

растёт с ростом $n$ достаточно быстро за счёт "показательного множителя" $5^n$. Возьмём $(n-1)$ вместо $n$.

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 4. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Далее

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 5. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Получилось $D$ > $1 \Rightarrow$ ряд расходится.

Пример 2

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 6. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Так как в знаменателе $n!$, то дробь быстро убывает. Значит, наиболее эффективно рассмотреть признак Даламбера.

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 7. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 8. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

$D$

Пример 3

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 9. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 10. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Ряд сходится.

Другие примеры исследования сходимости ряда производятся по аналогии.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Александр Мельник

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис