Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Признак сходимости Даламбера, примеры

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Признак сходимости Даламбера, примеры
Признак сходимости Даламбера, примеры

Признак сходимости Даламбера

Изучение признака сходимости Даламбера входит в разделах о рядах в курсе математического анализа.

Будем считать, что читателю уже известно понятие последовательности. Итак, имеем последовательность $\{a_n\}$. Рассмотрим сумму её членов:

$a_1+a_2+...+a_n$ или $\sum_{k=1}^n a_n$. Рассмотрим также следующую сумму: $a_v+a_2+...+a_n$ или $\sum_{k=v}^n a_n$, где $v

Вычисление этих сумм в общем случае алгоритмически невозможно. В отдельных случаях используют специальные приёмы, которые в данной статье мы опустим. Перейдём к определению числового ряда.

Определение 1

Числовой ряд - это бесконечная сумма из бесконечной последовательности чисел:

$\sum_{n=1}^\infty w_n$.

Помощь со студенческой работой на тему
Признак сходимости Даламбера, примеры

Приведём понятие сходящегося числового ряда и расходящегося. Введём обозначение некоторой конечной суммы первых $n$ членов: $S_n=w_1,+w_2+w_3+...+w_n$. Такая сумма называется $n$-й частичной суммой ряда.

Определение 2

Числовой ряд сходящийся, если существует предел вида $S=\lim\limits_{n\to\infty} S_n$. Иначе ряд расходящийся.

В теории числовых рядом первым вопросом является вопрос о сходимости данного ряда. Если доказана сходимость, то следующий вопросом встаёт его сумма. Она вычисляется приближённо, с большим количеством членов в составе.

Существуют несколько признаков сходимости рядов с положительными членами:

  1. радикальный признак Коши;
  2. признак Даламбера.

В рамках данной статьи перейдём сразу ко второму признаку.

Теорема 1

Пусть существует предел

Предел. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 1. Предел. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Если $D$ $1$, то ряд расходится.

Замечание 1

Если $D=1$, то теорема не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

$D\neq1$ если члены ряда убывают или растут достаточно быстро.

Примеры

Пример 1

Необходимо исследовать сходимость ряда

Ряд. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 2. Ряд. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Общий член знакоположительного ряда:

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 3. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

растёт с ростом $n$ достаточно быстро за счёт "показательного множителя" $5^n$. Возьмём $(n-1)$ вместо $n$.

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 4. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Далее

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 5. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Получилось $D$ > $1 \Rightarrow$ ряд расходится.

Пример 2

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 6. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Так как в знаменателе $n!$, то дробь быстро убывает. Значит, наиболее эффективно рассмотреть признак Даламбера.

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 7. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 8. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

$D$

Пример 3

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 9. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 10. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Ряд сходится.

Другие примеры исследования сходимости ряда производятся по аналогии.