Рациональные уравнения — это уравнения, содержащие в себе рациональные выражения.
Рациональными выражениями при этом являются выражения, которые возможно записать в виде обыкновенной дроби вида $\frac{m}{n}$, при этом $m$ и $n$ — целые числа и $n$ не может быть равно нулю. К рациональным выражениям относятся не только выражения, содержащие дроби вида $\frac{2}{3}$, но и выражения, содержащие только целые числа, так как любое целое число можно представить в виде неправильной дроби.
Теперь рассмотрим более подробно, что же такое рациональные уравнения.
Как мы уже упомянули выше, рациональные уравнения — это уравнения, содержащие в себе рациональные выражения и переменные.
Соответственно тому, на каком именно месте стоит переменная в рациональном уравнении, оно может быть либо дробным рациональным уравнением, либо целым рациональным уравнением.
Дробные уравнения могут содержать дробь с переменной только в какой-то одной части уравнения, тогда как целые уравнения не содержат дробных выражений с переменной.
Целые рациональные уравнения примеры: $5x+2= 12$; $3y=-7(-4y + 5)$; $7a-14=256$.
Дробно-рациональные уравнения примеры: $\frac{3x-2}{x+3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{x}$; $\frac{7}{2y-3}=5$;
Стоит отметить, что дробно-рациональными уравнениями называются только уравнения, содержащие дробь в знаменателе, так как уравнения, содержащие дробные выражения без переменных, легко сводятся к линейным целым уравнениям.
Как решать рациональные уравнения?
В зависимости от того, имеете ли вы дело с целым рациональным уравнением или с дробным, применяются несколько разные алгоритмы для решения.
Алгоритм решения целых рациональных уравнений
- В начале необходимо определить наименьший общий знаменатель для всего равенства.
- Затем нужно определить множители, на которые нужно домножить каждый член равенства.
- Следующий этап — приведение к общему знаменателю всего равенства.
- Наконец, осуществление поиска корней полученного целого рационального равенства.
Решите уравнение: $\frac{5x+9}{2}=\frac{x}{4}$
Сначала найдём общий множитель — в данном случае это число $4$. Для того чтобы избавиться от знаменателя, домножим левую часть на $\frac{2}{2}$, получаем:
$10x+18=x$ — полученное уравнение является линейным, его корень $x=-2$.
Как решать дробно-рациональные уравнения?
В случае с дробными рациональными уравнениями порядок решения похож на алгоритм для решения целых рациональных, то есть сохраняются пункты 1-4, но после нахождения предполагаемых корней в случае использования неравносильных преобразований корни требуется проверить, подставив в уравнение.
Решите дробно-рациональное уравнение: $\frac{x-3}{x-5}+\frac{1}{x}=\frac{x+5}{x \cdot (x-5)}$
Для того чтобы привести дробь к общему знаменателю, здесь это $x \cdot (x-5)$, домножим каждую дробь на единицу, представленную в виде необходимого для приведения к общему знаменателю множителя:
$\frac{(x-3) \cdot x}{(x-5)\cdot x}+\frac{1 \cdot (x-5)}{x \cdot (x-5)}=\frac{x+5}{x \cdot (x-5)}$
Теперь, когда вся дробь имеет общий знаменатель, от него можно избавиться:
$(x-3) \cdot x+(x-5)=x+5$
$x^2 - 3x+x-5 = x+5$
$x^2-3x-10=0$
Воспользуемся теоремой Виета для решения получившегося квадратного уравнения:
$\begin{cases} x_1 + x_2 = 3 \\ x_1 \cdot x_2 = -10 \\ \end{cases}$
$\begin{cases} x_1=5 \\ x_2=-2 \\ \end{cases}$
Так как преобразование, использовавшееся для упрощения уравнения, не является равносильным, полученные корни необходимо проверить в исходном уравнении, для этого подставим их:
$x_2=-2$:
$\frac{-2-3}{-2-5} +\frac{1}{-2}=\frac{-2+5}{(-2) \cdot (-2-5)}$
$\frac{5}{7}-\frac{1}{2}=\frac{3}{14}$
$\frac{3}{14}=\frac{3}{14}$ — следовательно, корень $x_2=-2$ — верный.
$x_1=5$:
$\frac{5-3}{5-5} +\frac{1}{5}=\frac{5+5}{(-2) \cdot (5-5)}$
Здесь сразу видно, что в знаменателе образуется нуль, следовательно, корень $x_1=5$ — посторонний.
Необходимо помнить, что в случае, если уравнение, содержащее в левой или правой части выражение вида $\frac{m}{n}$ равно нулю, равен нулю может быть только числитель дроби. Это происходит из-за того, что, если где-то в знаменателе образуется нуль, проверяемый корень не является корнем уравнения, так как всё равенство теряет смысл в этом случае. Корни, приводящие знаменатель к нулю, называются посторонними.
В случае если дробно-рациональное уравнение имеет довольно сложную форму, для его дальнейшего упрощения и решения возможно использовать замену части уравнения на новую переменную, наверняка вы уже видели примеры таких дробно-рациональных уравнений:
Решите уравнение:
$\frac{1}{x^2+3x-3}+\frac{2}{x^2+3x+1}=\frac{7}{5}$
Для упрощения решения введём переменную $t= x^2+3x$:
$\frac{1}{t-3}+\frac{2}{t+1}=\frac{7}{5}$
Общий знаменатель здесь $5 \cdot (t-3)(t+1)$, домножим на необходимые множители все части уравнения чтобы избавиться от него:
$\frac{5(t+1)}{5(t-3)(t+1)}+\frac{2 \cdot 5(t-3)}{5(t+1)(t-3)}=\frac{7(t+1)(t-3)}{5(t-3)(t+1)}$
$5(t+1)+10(t-3)=7(t+1)(t-3)$
$5t+5+10t-30=7(t^2-3t+t-3)$
$15t-25=7t^2-14t-21$
$7t^2-29+4=0$
Через дискриминант вычислим корни:
$t_1=4;t_2=\frac{1}{7}$
Так как мы использовали неравносильные преобразования, необходимо проверить полученные корни в знаменателе, они должны удовлетворять условию $5(t-3)(t+1)≠0$. Оба корня соответствуют этому условию.
Теперь подставим полученные корни вместо $t$ и получим два уравнения:
$x^2+3x=4$ и $x^2+3x=\frac{1}{7}$.
По теореме Виета корни первого уравнения $x_1=-4; x_2=1$, корни второго же вычислим через дискриминант и имеем $x_{1,2}=\frac{-3±\sqrt{\frac{67}{7}}}{2}$.
Все корни уравнения составят: $x_1=-4; x_2=1, x_{3,4}=\frac{-3±\sqrt{\frac{67}{7}}}{2}$.
Преобразования для упрощения формы уравнения
Как вы уже могли увидеть выше, для решения рациональных уравнений используют различные преобразования.
Различают преобразования уравнений двух видов: равносильные (тождественные) и неравносильные.
Преобразования называются равносильными, если они приводят к уравнению нового вида, корни которого такие же, как у первоначального.
Тождественные преобразования, которые можно использовать для изменения вида первоначального уравнения без каких-либо проверок в дальнейшем, следующие:
- Умножение или деление всего уравнения на какое-либо число, отличное от нуля;
- Перенос частей уравнения из левой части в правую и наоборот.
Неравносильными преобразованиями называются преобразования, в ходе которых могут появиться посторонние корни. К неравносильным преобразованиям относят:
- Возведение обеих частей уравнения в квадрат;
- Избавление от знаменателей, содержащих переменную;
Корни рациональных уравнений, решённых с помощью неравносильных преобразований, необходимо проверять подстановкой в исходное уравнение, так как при неравносильных преобразованиях могут появиться посторонние корни. Не всегда неравносильные преобразования приводят к появлению посторонних корней, но всё же необходимо это учитывать.
Решение рациональных уравнений со степенями больше двух
Наиболее часто используемыми методами для решения уравнений со степенями больше двух являются метод замены переменной, рассмотренный нами выше на примере дробно-рационального уравнения, а также метод разложения на множители.
Рассмотрим более подробно метод разложения на множители.
Пусть дано уравнение вида $P(x)= 0$, при этом $P(x)$ — многочлен, степень которого больше двух. Если данное уравнение возможно разложить на множители так, что оно принимает вид $P_1(x)P_2(x)P_3(x)..\cdot P_n(x)=0$, то решением данного уравнения будет множество решений уравнений $P_1(x)=0, P_2(x)=0, P_3(x)=0...P_n(x)=0$.
Решите уравнение: $x^3+2x^2+3x+6=0$
Вынесем общие множители:
$x^2(x+2)+3(x+2)=0$
$(x+2)(x^2+3)=0$
После разложения на множители нужно решить уравнения $x+2=0$ и $x^2+3=0$. Корень первого $x=-2$, второе уравнение корней не имеет, поэтому $x=-2$ — в данном случае окончательный ответ.
Уравнения, в которых коэффициент при переменной со старшей степенью равен единице, называются приведёнными.
Для приведённых уравнений справедливо следующее:
Если такое уравнение с целыми коэффициентами при переменных имеет рациональный корень, то этот корень непременно является целым числом.
Благодаря такому свойству этих уравнений их можно решать перебором целых делителей свободного члена.
Для тех, кто не помнит: свободный член уравнения — это член уравнений, не содержащий при себе в качестве множителя переменную. При этом найдя один из корней такого уравнения, его можно использовать для дальнейшего разложения уравнения на множители.
Решите уравнение:
$x^3+4x^2-24=0$
Делителями свободного члена будут числа $±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12$ и $±24$. При их проверке подходящим корнем оказался $x=2$. Это значит, что данный многочлен можно разложить с использованием этого корня: $(x-2)(x^2+6+12)=0$.
Многочлен во второй паре скобок корней не имеет корней, значит, единственным корнем данного уравнения будет $x=2$.
Другим типом уравнений со степенью больше двух являются биквадратные уравнения вида $ax^4+bx^2+ c=0$. Такие уравнения решаются путём замены $x^2$ на $y$, применив её, получаем уравнение вида $ay^2+y+c=0$, а после этого полученное значение новой переменной используют для вычисления исходной переменной.
Также существует ещё один тип уравнений, называемый возвратным. Такие уравнения выглядят так: $ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0$. Такое название они имеют из-за повторения коэффициентов при старших степенях и младших.
