Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Иррациональные уравнения и неравенства

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Иррациональные уравнения и неравенства
Иррациональные уравнения и неравенства

Иррациональные уравнения

Рассмотрим теперь понятие рационального неравенства.

Определение 1

Уравнение, в котором неизвестная величина находится под радикалами или в дробных степенях будем называть иррациональным.

Здесь надо всегда помнить о том, что не под любым корнем может быть отрицательное число. В связи с этим здесь будет появляться понятие области определения уравнения (ООУ). Оно заключается в том, что под корнями с четными степенями не может быть отрицательных величин.

Решение классических иррациональных уравнений заключается в следующем: Вначале мы находим ООУ, с помощью простейших преобразований приводим уравнение к виду $\sqrt[n]{P(x)}=\sqrt[n]{Q(x)}$. Возводим в $n$-ю степень и находим корни получившегося уравнения. Выкидываем корни, не попадающие в ООУ.

Пример решения иррационального уравнения

Пример 1

Решить

$\sqrt[5]{x^2-4x+4}-\sqrt[5]{x-2}=2$

Решение.

Применяя формулу квадрата суммы, получим:

$\sqrt[5]{(x-2)^2}-\sqrt[5]{x-2}-2=0$

Так как степень корня нечетна, то нам здесь не требуется нахождения ООУ.

Сделаем замену $\sqrt[5]{x-2}=t$, получим

$t^2-t+2=0$

Это уравнение имеет своими корнями числа $-1$ и $-2$.

Получим два уравнения:

$\sqrt[5]{x-2}=-1$ и $\sqrt[5]{x-2}=-2$

$x-2=-1$ и $x-2=-32$

$x=1$ и $x=-30$

Ответ: $1$ и $-30$.

Иррациональные неравенства

Рассмотрим теперь понятие иррационального неравенства.

Определение 2

Неравенство, которое имеет вид $\sqrt[n]{P(x)}>(≥)\sqrt[n]{Q(x)}$ будем называть иррациональным неравенством.

Чаще всего неравенства решаются методом промежутков (интервалов). В основе этого метода лежит следующее рассуждение.

Пусть нам дана функция $f(x)=\frac{(x-n)(x-m)}{(x-l)(x-k)}$, причем $n

$x∈(-∞,n)$: Используя неравенство (1) будем получать:

$(x-n)

Четыре минуса, в общем, нам дадут плюсовое значение, то есть $f(x)>0$.

$x∈(n,m)$:

Используя неравенство (1) будем получать:

$(x-n)>0,(x-m)

Три минуса, в общем, нам дадут минусовое значение, то есть $f(x)

$x∈(m,l)$:

Используя неравенство (1) будем получать:

$(x-n)>0,(x-m)>0,(x-l)0$.

$x∈(l,k)$:

Используя неравенство (1) будем получать:

$(x-n)>0,(x-m)>0,(x-l)>0,(x-k)

Один минус дает нам минусовое значение, то есть $f(x)

$x∈(k,+∞)$:

Используя неравенство (1) будем получать:

$(x-n)>0,(x-m)>0,(x-l)>0,(x-k)>0$.

Все плюсы нам дадут плюсовое значение, то есть $f(x)>0$

Это рассуждение можно иллюстрировать на числовой прямой (рис. 1).

рис. 1

Эта иллюстрация называется кривой знаков и используется для решения рациональных и других неравенств $q(x)>(≥)0$ методом промежутков.

Замечание 1

На самом деле знаки на такой кривой не всегда чередуются. К примеру такое может быть при наличии в уравнение квадратного множителя.

Суммируя, получим:

Метод промежутков (интервалов)

  1. Вначале необходимо найти все корни уравнения $q(x)=0$ и значения, в которых область определения имеет разрыв.
  2. И всех полученных в пункте $1$ числовых значений составляем кривую знаков для данного уравнения.
  3. Записываем ответ из кривой знаков, с учетом знака неравенства.

Пример решения иррационального неравенства методом промежутков

Пример 2

Решить

$\sqrt[4]{z-1}≤\sqrt[8]{z+5}$

Решение.

Найдем ООУ:

$z-1 ≥0$ и $z+5 ≥0$

$z ≥1$ и $z ≥-5$

ООУ: $[1,∞)$.

Решим для начала следующее уравнение и найдем точки разрыва ее области определения:

$\sqrt[4]{z-1}-\sqrt[8]{z+5}=0$

$\sqrt[4]{z-1}=\sqrt[8]{z+5}$

$z^2-2z+1=z+5$

$z^2-3z-4=0$

Корни: $z=-1$ и $z=4$

Изобразим все полученные точки и ООУ на числовой прямой и построим кривую знаков:

Так как у нас знак неравенства «меньше или равно», то нам нужно выбрать промежуток со знаком минус.

Ответ: $[1,4]$.