Определение рациональных чисел
К рациональным числам относятся числа, которые можно представить как положительную или отрицательную обыкновенную дробь или число нуль.
К рациональным числам относятся:
- Натуральные числа, которые можно представить как обыкновенную дробь. Например, $7=\frac{7}{1}$.
- Целые числа, включая число нуль, которые можно представить как положительную или отрицательную обыкновенную дробь, или как нуль. Например, $19=\frac{19}{1}$, $-23=-\frac{23}{1}$.
- Обыкновенные дроби (положительные или отрицательные).
- Смешанные числа, которые можно представить как неправильную обыкновенную дробь. Например, $3 \frac{11}{13}=\frac{33}{13}$ и $-2 \frac{4}{5}=-\frac{14}{5}$.
- Конечная десятичная дробь и бесконечная периодическая дробь, которую можно представить как обыкновенную дробь. Например, $-7,73=-\frac{773}{100}$, $7,(3)=-7 \frac{1}{3}=-\frac{22}{3}$.
Заметим, что бесконечная непериодическая десятичная дробь не относится к рациональным числам, т.к. ее нельзя представить как обыкновенную дробь.
Натуральные числа $7, 670, 21 \ 456$ являются рациональными.
Целые числа $76, –76, 0, –555 \ 666$ – рациональные.
Обыкновенные дроби $\frac{7}{11}$, $\frac{555}{4}$, $-\frac{7}{11}$, $-\frac{100}{234}$ – рациональные числа.
Таким образом, рациональные числа делятся на положительные и отрицательные. Число нуль является рациональным, но не относится ни к положительным, ни к отрицательным рациональным числам.
Сформулируем более краткое определение рациональных чисел.
Рациональными называются числа, которые могут быть записаны в виде дроби $\frac{m}{n}$ с целым числом в числителе и натуральным числом в знаменателе.
Рациональными называют числа, которые могут быть представлены в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.
Можно сделать следующие выводы:
- положительные и отрицательные целые и дробные числа относятся к множеству рациональных чисел;
- рациональные числа могут быть представлены в виде дроби, у которой целый числитель и натуральный знаменатель и которая является рациональным числом;
- рациональные числа могут быть представлены в виде любой периодической десятичной дроби, которая является рациональным числом.
Как определить, является ли число рациональным
- Число задано в виде числового выражения, которое состоит только из рациональных чисел и знаков арифметических операций. В таком случае значением выражения будет рациональное число.
- Квадратный корень из натурального числа – рациональное число только в том случае, когда под корнем стоит число, которое является полным квадратом некоторого натурального числа. Например, $\sqrt{9}$ и $\sqrt{121}$ – рациональные числа, так как $9=3^2$ и $121=11^2$.
- Корень $n$-ой степени из целого числа – рациональное число только в том случае, когда число под знаком корня является $n$-ой степенью какого-либо целого числа. Например, $\sqrt[3]{8}$ – рациональное число, т.к. $8=2^3$.
На числовой оси рациональные числа располагаются повсюду плотно: между каждыми двумя рациональными числами, которые не равны друг другу, можно расположить хотя бы одно рациональное число (следовательно, и бесконечное множество рациональных чисел). В то же время, множество рациональных чисел характеризуется счетной мощностью (т. е. все элементы множества можно пронумеровать). Древние греки доказали, что существуют числа, которые невозможно записать как дробь. Они показали, что не существует такое рациональное число, квадрат которого равен $2$. Тогда рациональных чисел оказалось недостаточно для выражения всех величин, что и привело в дальнейшем к появлению вещественных чисел. Множество рациональных чисел, в отличие от вещественных чисел, является нульмерным.
