Понятие производной
Если существует конечный предел отношения приращения функции $f(x)$ в точке $x_0$ к приращению аргумента $\triangle x$, при $\triangle x\to 0$, то он называется производной функции $f(x)$ (произносится как «производная функции эф от переменной икс») в точке $x_0$.
\[{\mathop{lim}_{\triangle x\to 0} \frac{f\left(x_0+\triangle x\right)-f\left(x_0\right)}{\triangle x}\ }={\mathop{lim}_{\triangle x\to 0} \frac{\triangle y}{\triangle x}\ }\]Формула приращения дифференцируемой функции в точке
Если функция $f(x)$ в точке $x_0$ имеет конечную производную $f'(x_0)$, то справедливо представление:
\[f\left(x_0+\triangle x\right)-f\left(x_0\right)=f'\left(x_0\right)\triangle x+\alpha \triangle x\]В котором $\alpha$ стремится к нулю при $\triangle x\to 0$
Доказательство.
Рассмотрим поведение функции $f(x)$ вблизи точки $x_0$.
Так как по определению производной в точке $x_0$ она равна ${\mathop{lim}_{\triangle x\to 0} \frac{\triangle y}{\triangle x}\ }=f'(x_0)$, то
Определим отсюда $\triangle y$:
$\frac{\triangle y}{\triangle x}=\alpha +f'(x_0)$
$\triangle y=\alpha \triangle x+f'(x_0)\triangle x$
Что и требовалось доказать.
Производная сложной функции
Пусть $y=f(x)$ с областью определения аргумента $X$ и $g=g(y)$ с областью определения аргумента $Y$, такие что $E(f)\in D(g)$, имеют в точках $x_0\in X$ и $y_0\in Y$ конечные производные $f'(x_0)$ и $g'(y_0)$, тогда функция $h\left(x\right)=g(f\left(x\right))$ также имеет в точке $x_0$ конечную производную $h'(x_0)$ и эта производная равна $h'\left(x_0\right)=g'(y_0)\cdot f'(x_0)$
Производная обратной функции
Пусть монотонная непрерывная в $X\in R$ отображающая множество $X$ на $Y$ функция $y=f(x)$ имеет в точке $x_0\in X$ конечную производную $y'=f'(x_0)\ne 0$, тогда функция $x=f^{-1}\left(y\right)=g(y)$, отображающая множество $Y\ на\ X$ также имеет в точке $y_0\in Y$ конечную производную $g'(y_0)$ и выполняется $g'\left(y_0\right)=\frac{1}{f'(x_0)}$.
Таблица производных
Введем таблицу простейших производных (таблица 1), она описывает элементарные правила дифференцирования:
Рисунок 1. Таблица производных. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Задачи на вычисление производных
Найти производные функции в точке $x_0=1$:
а) $f\left(x\right)=x^3$
б) $f\left(x\right)=4-x^2$
в) $f\left(x\right)=2x^2$
г) $f\left(x\right)=3x-2$
Решение:
Производные функций будем находить, используя таблицу 1.
а) $f'(x)={\left(x^3\right)}'=3x^{3-1}=3x^2$
\[f'(1)=3\]б) $f^{'\left(x\right)}={\left(4-x^2\right)}'=0-2x^{2-1}=-2x$
\[f'\left(1\right)=-2\]в) $f^{'\left(x\right)}={\left(2x^2\right)}'=2\cdot 2x^{2-1}=4x$
\[f'(1)=4\]г) $f^{'\left(x\right)}={\left(3x-2\right)}'=3-0=3$
\[f'(1)=3\]Найти производные сложной функции в точке $x_0=2$:
а) $f\left(x\right)=cos(5x)$
б) $f\left(x\right)={(2-x)}^2$
в) $f\left(x\right)={(2x+1)}^4$
г) $f\left(x\right)=ln\left(x^2\right)$
Решение:
Производные будем находить, используя таблицу 1 и теорему 2.
а) $f'(x)={\left(cos5x\right)}'\cdot {\left(5x\right)}'=-sin5x\cdot 5=-5sin5x$
\[f'\left(2\right)=-5sin10\]б) $f'(x)={\left({\left(2-x\right)}^2\right)}'{\left(2-x\right)}'=2\left(2-x\right)\cdot \left(-1\right)=2x-4$
\[f'\left(2\right)=4-4=0\]в) $f'\left(x\right)={\left({\left(2x+1\right)}^4\right)}'{\left(2x+1\right)}'=4{\left(2x+1\right)}^3\cdot 2=8{\left(2x+1\right)}^3$
\[f'\left(2\right)=8\cdot 5^3=1000\]г) $f'(x)={\left(ln\left(x^2\right)\right)}'{\left(x^2\right)}'=\frac{1}{x^2}\cdot 2x=\frac{2}{x}$
\[f'\left(2\right)=\frac{2}{2}=1\]
