Производная

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Понятие производной

Определение 1

Если существует конечный предел отношения приращения функции $f(x)$ в точке $x_0$ к приращению аргумента $\triangle x$ , при $\triangle x\to 0$ , то он называется производной функции $f(x)$ (произносится как «производная функции эф от переменной икс») в точке $x_0$ .

${\mathop{lim}_{\triangle x\to 0} \frac{f\left(x_0+\triangle x\right)-f\left(x_0\right)}{\triangle x}\ }={\mathop{lim}_{\triangle x\to 0} \frac{\triangle y}{\triangle x}\ }$

Теорема 1

Формула приращения дифференцируемой функции в точке

Если функция $f(x)$ в точке $x_0$ имеет конечную производную $f'(x_0)$ , то справедливо представление:

$f\left(x_0+\triangle x\right)-f\left(x_0\right)=f'\left(x_0\right)\triangle x+\alpha \triangle x$

В котором $\alpha$ стремится к нулю при $\triangle x\to 0$

Доказательство.

Рассмотрим поведение функции $f(x)$ вблизи точки $x_0$ .

Так как по определению производной в точке $x_0$ она равна ${\mathop{lim}_{\triangle x\to 0} \frac{\triangle y}{\triangle x}\ }=f'(x_0)$ , то

Определим отсюда $\triangle y$ :

$\frac{\triangle y}{\triangle x}=\alpha +f'(x_0)$

$\triangle y=\alpha \triangle x+f'(x_0)\triangle x$

Что и требовалось доказать.

Производная сложной функции

Теорема 2

Пусть $y=f(x)$ с областью определения аргумента $X$ и $g=g(y)$ с областью определения аргумента $Y$ , такие что $E(f)\in D(g)$ , имеют в точках $x_0\in X$ и $y_0\in Y$ конечные производные $f'(x_0)$ и $g'(y_0)$ , тогда функция $h\left(x\right)=g(f\left(x\right))$ также имеет в точке $x_0$ конечную производную $h'(x_0)$ и эта производная равна $h'\left(x_0\right)=g'(y_0)\cdot f'(x_0)$

Производная обратной функции

Теорема 3

Пусть монотонная непрерывная в $X\in R$ отображающая множество $X$ на $Y$ функция $y=f(x)$ имеет в точке $x_0\in X$ конечную производную $y'=f'(x_0)\ne 0$ , тогда функция $x=f^{-1}\left(y\right)=g(y)$ , отображающая множество $Y\ на\ X$ также имеет в точке $y_0\in Y$ конечную производную $g'(y_0)$ и выполняется $g'\left(y_0\right)=\frac{1}{f'(x_0)}$ .